Geometría

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Geometría

La geometría es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el Sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la Geometría descriptiva, del Dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

Axiomas, definiciones y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta que las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelos).

Esto significa que en adelante, las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo tradicional.

Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera:

$\{\lambda \cdot f(x):\lambda \in \mathbb {R} \}$

y un plano es entendido como el conjunto:

$\{\lambda \cdot f(x)+\mu \cdot g(x):\lambda ,\mu \in \mathbb {R} \}$

es posible ver que todos los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.

Axiomas

En geometría sintética, los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, definidos en función al punto, la recta y el plano. Se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función al punto; no tiene sentido hablar de recta o plano. $f(x)$ puede definir cualquier función llámese recta, circunferencia, cuadrado de la circunferencia, planos, entre otros.

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