Esfuerzo interno

Representación gráfica de las tensiones o componentes del Tensor tensión en un punto de un cuerpo.

En Ingeniería estructural, los esfuerzos internos son magnitudes físicas con unidades de fuerza sobre área utilizadas en el cálculo de piezas prismáticas como vigas o pilares y también en el cálculo de placas y láminas.

Definición

Los esfuerzos internos sobre una sección plana se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana Σ de una viga es igual a la integral de las tensiones t sobre ése área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina):

• Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales σ, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
• Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes τ, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.

Para poder explicar mejor el concepto de esfuerzo es necesario tomar un elemento diferencial de un cuerpo. Debido a que las fuerzas internas pueden presentarse en las tres direcciones posibles (x,y,z), el elemento diferencial será un elemento diferencial volumétrico.

Cada una de las caras tiene un diferencial de área, las fuerzas que son normales a esa cara generan un esfuerzo normal$\sigma \ ={\frac {N}{A}}$ y las fuerzas que son tangentes al elemento diferencial generan esfuerzos cortantes $\tau \ ={\frac {V}{A}}$.

Esfuerzos en vigas y pilares

Para un prisma mecánico o elemento unidimensional los esfuerzos se designan como:

• Esfuerzo normal (N_x)
• Esfuerzo cortante total (V, T o Q)
  • Esfuerzo cortante según Y (V_y)
  • Esfuerzo cortante según Z (V_z)

En un abuso de lenguaje es común también que se hable de esfuerzos para hablar de:

• Momento torsor (M_x)
• Momento flector $\left(M_{f}={\sqrt {M_{z}^{2}+M_{y}^{2}}}\right)$
  • Momento flector según Z (M_z)
  • Momento flector según Y (M_y)
• Bimomento (B_ω)

Cada uno de estos esfuerzos van asociados a cierto tipo de tensión:

• Tensión normal, el esfuerzo normal (tracción o compresión) implica la existencia de tensiones normales σ, pero estas tensiones normales también pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos también provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.
• Tensión tangencial, por otro lado los esfuerzos cortantes y el momento torsor implican la existencia de tensiones tangenciales τ.

Cálculo práctico de esfuerzos en prismas

Consideremos la viga o prisma mecánico que se observa en la primera figura y supongamos que se encuentra vinculado al resto de la estructura de forma isoestática. Supondremos también que sobre este prima actúan fuerzas externas activas en el plano de su eje baricéntrico (o línea recta que uno los Baricentros de todas las secciones transversales rectas del prisma).

El primer paso es dividir el rígido en dos bloques más pequeños. Quedan determinados los bloques 1 y 2 de la figura.

Seguidamente estudiaremos el bloque 1, donde aparecen 2 fuerzas externas reactivas actuando (P₁ y P₁). Como se puede ver este bloque ahora no se encuentra vinculado isoestáticamente, así que para que pueda quedar en equilibrio deben existir fuerzas que equilibren al mismo. Estas fuerzas son fuerzas reactivas también y corresponden a la acción del bloque 2 sobre el bloque 1. Las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el 1 pueden ser reducidas a una fuerza y un momento actuando sobre el baricentro de la sección recta A. De hecho estas fuerzas y momentos son la fuerza resultante y el momento resultante de la distribución de tensiones sobre el área recta A.

Como estamos tratando el caso especial de fuerzas externas activas actuando sobre el plano del eje baricéntrico, el momento y la fuerza al que se reducen las fuerzas reactivas del bloque 2 sobre el bloque 1, deben de ser una fuerza contenida en dicho plano y un momento perpendicular a mismo plano.

Llamaremos a la fuerza R_2-1 del bloque 2 sobre el bloque y al momento lo llamaremos M_2-1. La fuerza R_2-1 puede descomponerse en una componente vertical y otra horizontal en el plano que se halla contenida. Llamaremos R_2-1,y a la fuerza descompuesta en sentido vertical y R_2-1,x a la descompuesta en sentido horizontal. Resumiendo tenemos que el sistema de fuerzas en equilibrio que está formado por:

• Las fuerzas activas externas sobre el bloque 1.
• Las fuerzas reactivas P₁ y P₂.
• Las fuerzas reactivas R_2-1,x, R_2-1,y y el momento M_2-1.

A las fuerzas reactivas R_2-1,x, R_2-1,y y al momento M_2-1 se los conocen como esfuerzos internos. Y representan respectivamente el esfuerzo normal (N = R_2-1,x), el esfuerzo de corte (Q = R_2-1,y) y el Momento flector (M_f = M_2-1).

Cálculo de tensiones en prismas

En piezas prismáticas sometidas a flexión compuesta (no esviada y sin torsión), el cálculo de las tensiones resulta sencillo si se conocen los esfuerzos internos, para una pieza simétrica en la que el Centro de gravedad esté alineado con el centro de cortante y con un canto total suficientemente pequeño comparado con la longitud de la pieza prismática, de tal manera que se pueda aplicar la teoría de Navier-Bernouilli, el Tensor tensión de una viga viene dado en función de los esfuerzos internos por:

$[T]_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{y}&\tau _{z}\\\tau _{y}&0&0\\\tau _{z}&0&0\end{bmatrix}}$

Donde las tensiones normal (σ) y tangencial (τ) pueden determinarse a partir de los esfuerzos internos $N_{x},M_{y},M_{z},T_{y},T_{z}\;$. Si se considera un sistema de ejes principales de inercia sobre la viga, considerada como prisma mecánico, las tensiones asociadas a la extensión, flexión y cortante resultan ser:

$\sigma _{x}={\frac {N_{x}}{A}}+{\frac {M_{y}z}{I_{y}}}-{\frac {M_{z}y}{I_{z}}}\qquad \tau _{y}\approx k_{sec}{\frac {T_{y}}{A}}\qquad \tau _{z}\approx k_{sec}{\frac {T_{z}}{A}}$

Donde $k_{sec}$ es el coeficiente que relaciona la Tensión cortante máxima y la tensión cortante promedio de la sección. Un criterio frecuentemente empleado para las vigas metálicas es verificar que en ninguna sección se verifique la siguiente desigualdad:

$\sigma _{co}={\sqrt {\sigma ^{2}+3(\tau _{y}^{2}+\tau _{z}^{2})}}>\sigma _{u}$

Siendo $\sigma _{u}\;$ la tensión última o tensión admisible normalmente definida en términos del límite elástico del material. Para piezas prismáticas susceptibles de sufrir pandeo el cálculo anterior no conduce a un diseño seguro, ya que en ese caso se subestima la tensión normal susceptible de desarrollarse en la pieza.

Esfuerzos en placas y láminas

Cálculo de esfuerzos en placas

En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante, o lámina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se carazterizan por dos momentos flectores $m_{x},m_{y}\;$ según dos direcciones mútualmente perpendiculares y un esfuerzo torsor $m_{xy}$. Estos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:

${\begin{cases}m_{x}=-D\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]&m_{xy}=-D(1-\nu )\left[{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y\partial x}}\right]\\m_{y}=-D\left[\nu {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right]\end{cases}}$

Donde:

$\nu \,$, es el Coeficiente de Poisson del material de la placa.

$D=Eh^{3}/12(1-\nu )\;$, es la rigidez en flexión de la placa, siendo:

$E\;$ el Módulo de Young del material de la placa, y h el espesor de la placa.

Cálculo de tensiones en placas

Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos anteriores:

${\begin{cases}\sigma _{xx}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{y}(x,y)&\sigma _{xy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}(1-\nu )^{2}m_{xy}(x,y)\\\sigma _{yy}={\cfrac {12z}{h^{3}}}m_{x}(x,y)&\sigma _{xz}=\sigma _{yz}=\sigma _{zz}=0\end{cases}}$