Tensión cortante

La tensión cortante es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele denotar por la letra griega tau $\tau \$ (Fig 1). En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

En piezas alargadas como vigas y pilares el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (i.e. uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas ya que su efecto es menos evidente.

Tensión cortante promedio

Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre un área, si se quiere obtener la tensión media es usada la fórmula:

$\tau _{med}={\frac {V}{A}}$

donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza cortante y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante como su nombre lo dice corta a una pieza, en esta imagen (Fig 2.) el tornillo y el perno presentan esfuerzo cortante al ser cortados por las piezas que unen (línea verde).

Fórmula de Collignon-Jourawski

Si se requiere encontrar la tensión cortante debida fuerza cortante en un punto específico, lo cual es común en vigas, se usa la siguiente fórmula, conocida como fórmula de Collignon (1877):

${\bar {\tau }}_{xy}={\frac {V_{y}(x)Q_{y}(y)}{I_{z}t_{z}(y)}}$

donde V_y representa la fuerza cortante, Q_y el producto del Centroide y el área que se abarca desde un extremo hasta el punto donde se quiere encontrar el esfuerzo, I_z el momento de inercia de la sección total respecto a un eje perpendicular a la dirección del cortante y t_z el espesor de la figura a lo largo de un eje perpendicular a la dirección del cortante.

Aunque esta fórmula fue publicada por Collignon en 1877 y se conoce con su nombre, previamente había sido utilizada en 1844 por el ingeniero ruso D. J. Jourawski para calcular tensiones en vigas de madera, publicando esta fórmula en 1856.

Puntos importantes:

• El esfuerzo cortante en el cordón superior y el inferior es cero.
• El esfuerzo cortante en la línea neutra de la pieza (coincidente con el centro de gravedad) es máximo.
• El momento de inercia y el centroide de las figuras es con respecto al eje neutro de la pieza.

Deducción de la fórmula de Collignon

La fórmula de Collignon anterior no proporciona el valor exacto de la tensión tangencial, sino sólo el promedio a lo largo de una línea que divida en dos la sección transversal. Para comprender ese hecho conviene examinar la deducción de la misma. Para la deducción partiremos de las ecuaciones de equilibrio elástico cuando no existen fuerzas másicas, la primera de ellas para la componente X es igual a:

(1)

${\frac {\partial \sigma _{xx}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{xz}}{\partial z}}=0$

Si se presupone que sólo el esfuerzo cortante está dirigido según el eje Y (y que esta dirección coincide con una de las Direcciones principales de inercia), y que el eje X coincide con el eje de la pieza y, además, que las tensiones están provocadas únicamente por un esfuerzo normal constante y un momento flector y un esfuerzo cortante variables, tenemos:

${\begin{cases}\sigma _{xx}={\frac {N_{x}}{A}}-{\frac {M_{z}y}{I_{z}}}\\\sigma _{xy}=\tau (x,y,z;V_{y})\\\sigma _{xz}=0\end{cases}},\qquad {\cfrac {dM_{z}(x)}{dx}}=-V_{y}(x)$

Substituyendo estas dos últimas ecuaciones en la ecuación de equilibrio (1), se tiene la relación entre la tensión tangencial y el esfuerzo cortante:

(1')

${\frac {dM_{z}(x)}{dx}}{\frac {y}{I_{z}}}+{\frac {\partial \tau (x,y,z)}{\partial y}}={\frac {V_{y}(x)y}{I_{z}}}+{\frac {\partial \tau (x,y,z)}{\partial y}}=0$

Integrando directamente esa última ecuación se llega a:

$\tau (x,y,z)=-\int _{C(z)}^{y}{\frac {V_{y}(x)y}{I_{z}}}dy$

La anterior ecuación resulta incómoda porque depende de la coordenada C(z) situada sobre una vertical donde el cortante se anula (puede comprobarse que coincide que es la coordenada de un punto sobre el contorno de la sección, usando las condiciones de contorno que acompañan a las ecuaciones de equilibrio elástico). Sin embargo, se puede definir la tensión cortante media como:

${\bar {\tau }}(x,y):={\frac {1}{t_{z}}}\int _{ejeZ}\tau (x,y,z)dz=-\int _{ejeZ}dz\int _{C(z)}^{y}{\frac {V_{y}(x)y}{I_{z}}}dy=-{\frac {V_{y}(x)Q_{x}(y)}{I_{z}t_{z}(y)}}$

Esta última coincide (salvo signo) con la fórmula de Collignon usada para calcular la distribución media de tensiones cortantesa lo largo de la sección que se mencionaba en el apartado anterior. Cabe señalar que hemos introducido el llamado primer momento de área parcial definido como:

$Q_{x}(y)=\int _{\Sigma (y)}y\quad dzdy\qquad \Sigma =\{(y',z')\vert y'<y,z'\in L_{t_{z}}\}$

Tensión cortante máxima

La anterior ecuación puede usarse para calcular la tensión tangencial máxima para diferentes tipos de sección y comparar su valor con el de la tensión promedio. Puede probarse que para cualquier tipo de sección transversal se cumple que:

$\tau _{max}=k_{sec}\cdot \tau _{med}\qquad k_{sec}\geq 1$

Sección rectangular

Para una sección rectangular de medidas b x h sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas vienen dadas por:

${\bar {\tau }}_{xy}={\frac {3V_{y}(h^{2}-4y^{2})}{2h^{3}}}={\frac {3}{2}}{\frac {V_{y}}{A}}\left(1-{\frac {4y^{2}}{h^{2}}}\right),\qquad {\bar {\tau }}_{max}={\frac {3}{2}}{\frac {V_{y}}{A}}={\frac {3}{2}}\tau _{prom}$

Eso significa que para las secciones rectangulares $k_{sec}=3/2\,$.

Sección circular

Para una sección circular maciza de radio R sometida a un esfuerzo cortante paralelo a uno los lados de la misma, la distribución de tensiones cortantes y la tensión cortante máximas son:

${\bar {\tau }}_{xy}={\frac {4V_{y}(R^{2}-y^{2})}{3\pi R^{4}}}={\frac {4}{3}}{\frac {V_{y}}{A}}\left(1-{\frac {y^{2}}{R^{2}}}\right),\qquad {\bar {\tau }}_{max}={\frac {4}{3}}{\frac {V_{y}}{A}}={\frac {4}{3}}\tau _{prom}$

Eso significa que para las secciones circulares $k_{sec}=4/3\,$.

Bibliografía

• Hibbeler, R. C. 2005. Mechanics of materials, sixth edition. Prentice Hall.

Referencias

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