Prisma mecánico

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Prisma mecánico

Un prisma mecánico o pieza prismática es un modelo mecánico de sólido deformable, usado para calcular elementos estructurales como vigas y pilares.

Geométricamente un prisma mecánico puede generarse al mover una sección transversal plana a lo largo de una curva, de tal manera que el Centro de masa de la sección esté en todo momento sobre la curva y el vector tangente a la curva sea perpendicular a la sección transversal plana. Podemos dar algunos ejemplos de elementos estructurales con forma de prismas mecánicos:

• Un cilindro por ejemplo es una pieza prismática generada por un círculo que se desplaza a lo largo de una línea recta vertical.
• Un tubo (curvado o recto) es una pieza prismática generada por una corona circular moviéndose a lo largo de una Curva suave.
• Una viga recta de sección transversal constante es un geométricamente un prisma mecánico.

Una pieza prismática queda caracterizada por su eje baricéntrico (la curva a lo largo de la cual se desplaza la sección transversal), su sección transversal (la forma del corte según un plano perpendicular al eje) y el material en el que está fabricada.

Descripción geométrica

El eje baricéntrico es el lugar geométrico de los Baricentros o centros de gravedad de las diversas secciones transversales que componen una pieza prismática. En una pieza prismática tanto la geometría como las magnitudes mecánicas (tensión, esfuerzo, deformación) se calculan a partir de las correspondientes magnitudes sobre eje baricéntrico. Y la hipótesis cinemática liga las magnitudes de puntos de fuera del eje con las correspondientes magnitudes sobre el eje baricéntrico.

Coordenadas baricéntricas

Dado un prima mecánico K, si llamamos E al eje (que puede ser recto o curvo) y S a la forma de la sección transversal de una pieza prismática, topológicamente la geometría de la misma es: ExS. Por tanto, para una pieza prismática puede construirse un sistema de coordenadas (s, y, z) de tal manera que s represente la Longitud de arco a lo largo de la curva E e (y, z) sean coordenadas cartesianas sobre la sección transversal y el vector de posición r de cualquier punto de la pieza prismática puede expersarse como:

$\mathbf {r} (s,y,z)=\mathbf {r} _{eje}(s)+y\mathbf {n} (s)+z\mathbf {b} (s)$

$\mathbf {t} (s)={\frac {d\mathbf {r} _{eje}(s)}{ds}}\qquad \mathbf {n} (s)={\frac {1}{\chi }}{\frac {d\mathbf {t} (s)}{ds}}\qquad \mathbf {b} (s)={\frac {1}{\tau }}\left({\frac {d\mathbf {n} (s)}{ds}}+\chi \mathbf {t} \right)$

Donde los vectores t, n y b son los vectores tangente, normal y binormal del triedro de Frênet-Serret del punto r(s, x, y) de la curva E; χ y τ son respectivamente la Curvatura geométrica y la torsión geométrica del eje de la pieza prismática. El sistema de coordenadas anterior para la pieza estará bien definido para puntos tales que:

$h={\sqrt {(y_{max}-y_{min})^{2}+(z_{max}-z_{min})^{2}}}$

$h<<\chi ^{-1}\ \land h<<L=(s_{max}-s_{min})$

Magnitudes geométricas de la sección

En el cálculo de # esfuerzos sobre una sección magnitudes geométricas aparecerán una serie de cantidades definibles en términos de la forma de la sección y el alabeo seccional ω:

${\begin{matrix}A=\int _{A}dydz&S_{y}=\int _{A}z\ dydz&S_{z}=\int _{A}y\ dydz\\I_{y}=\int _{A}z^{2}\ dydz&I_{z}=\int _{A}y^{2}\ dydz&I_{yz}=\int _{A}yz\ dydz\\I_{\omega }=\int _{A}\omega ^{2}\ dydz&{\hat {S}}_{y}=+\int _{A}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}\ dydz&{\hat {S}}_{z}=-\int _{A}{\frac {\partial \omega }{\partial z}}\ dydz\end{matrix}}$

${\begin{cases}I_{C}=\int _{A}\left[(y-y_{C})^{2}+(z-z_{C})^{2}\right]dydz&J=I_{C}-W_{0}\\W_{0}=\int _{A}\left[({\frac {\partial \omega }{\partial y}})^{2}+({\frac {\partial \omega }{\partial z}})^{2}\right]dydz&\kappa =1-J/I_{C}\end{cases}}$

El significado de estas magnitudes queda claro cuando se considera la relación entre los esfuerzos y los desplazamientos. Tomando dos secciones de dos piezas prismáticas sometidas a los mismos esfuerzos, puede verse que cuanto mayor sea alguna de las mangitudes anterior menores seran los desplazamientos, deformaciones y tensiones sobre dicha sección.

Descripción cinemática

Una pieza prismática presenta la peculiaridad mecánica de que cualquier deformación tridimensional puede expresarse en términos de la deformación del eje E(desplazamientos del mismo, cambios de curvatura y torsión). La ecuación que relaciona los desplazamientos y giros del eje, con el campo de desplazamientos del sobre todo el prisma (considerado como sólido deformable) se llama hipótesis cinemática.

La deformación de un sólido viene dada por un campo vectorial (u*,v*,w*) dependiente de tres coordenadas de posición (s, y, z), donde s denota la longitud a lo largo del eje de la viga y (y, z) la posición sobre la sección transversal. Cuando el sólido es una pieza prismática dicho campo puede expresarse convenientemente a partir de un vector de desplazamientos y giros del eje de la pieza (u, v, w, θ_x, θ_y, θ_z). Fijados los desplazamientos y giros de dicho eje, el desplazamiento de cualquier otro punto de una pieza prismática queda totalmente determinado. De hecho la hipótesis cinemática para los desplazamientos de una pieza alargada es la ecuación que relaicona los desplazamientos de un punto cualquiera con el desplazamientos y giros del eje:

$\mathbf {d} (s,y,z)={\begin{Bmatrix}u*(s,y,z)\\v*(s,y,z)\\w*(s,y,z)\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&z-z_{G}&-(y-y_{G})\\0&1&0&-(z-z_{C})&0&0\\0&0&1&y-y_{C}&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u(s)\\v(s)\\w(s)\\\theta _{x}(s)\\\theta _{y}(s)\\\theta _{z}(s)\\\end{Bmatrix}}$

Donde $C:=(y_{C},z_{C}),G:=(y_{G},z_{G})$ son las posiciones del centro de cortante y del centro de gravedad de la sección. Lo anterior implica que las deformaciones sobre una pieza alargada usando las coordenadas curvilíneas (s, y, z) son (despreciando las componentes ε_yy, ε_zz y ε_yz):

${\begin{Bmatrix}\varepsilon _{ss}\\\varepsilon _{sy}\\\varepsilon _{sz}\end{Bmatrix}}={\frac {\chi }{1-\chi y}}{\begin{Bmatrix}-v+{\hat {z}}\theta _{x}\\u+{\tilde {z}}\theta _{y}-{\tilde {y}}\theta _{z}\\0\end{Bmatrix}}+{\frac {1}{1-\chi y}}{\begin{Bmatrix}u'+{\tilde {z}}\theta '_{x}-{\tilde {y}}\theta '_{y}\\v'-{\hat {z}}\theta '_{x}\\w'+{\hat {z}}\theta '_{x}\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}-\theta _{z}+\theta _{y}\\-\theta _{x}\\+\theta _{x}\end{Bmatrix}}$

Donde $\chi \,$ es la curvatura inicial del eje, y donde se han introducido las abreviaciones:

${\begin{matrix}{\hat {y}}:=y-y_{C},&{\hat {z}}:=z-z_{C}\\{\tilde {y}}:=y-y_{G},&{\tilde {z}}:=z-z_{G}\end{matrix}}$

Descripción mecánica

Si aplicamos las ecuaciones de Lamé-Hooke a una pieza prismática y se desprecian los cambios de forma de la sección transversal la relación entre tensiones σ_ij y deformaciones ε_ij viene dada, en términos del módulo de Young (E) y el Módulo de elasticidad transversal (G), por:

${\begin{Bmatrix}\sigma _{ss}\\\sigma _{sy}\\\sigma _{sz}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&0&0\\0&2G&0\\0&0&2G\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\varepsilon _{ss}\\\varepsilon _{sy}\\\varepsilon _{sz}\end{Bmatrix}}$

La energía de deformación total de una pieza prismática K viene dada por la suma de la energía de deformación U_D más la Energía potencial U_P de las fuerzas actuantes q_s. En el caso de no existir fuerzas másicas:

${\begin{matrix}U_{D}={\frac {1}{2}}\int _{K}\left[\sum _{i,j}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}\right]dV&&&U_{P}=\int _{\partial K}\mathbf {d} \cdot \mathbf {q_{s}} \ dS\end{matrix}}$

Si se substituyen las descripciones cinemáticas de la sección anterior se obtienen la energía total en términos de desplazamientos para una pieza prismática. Si en la segunda e estas expresiones se igualan las fuerzas exteriores a las tensiones, y se expresa en términos de los desplazamientos se llega a:

$U_{P}=\int _{A}\mathbf {d} \cdot \mathbf {t} \ dxdy=\left[\int _{A}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\omega &0&0\\0&-{\hat {z}}&{\hat {y}}\\{\tilde {z}}&0&0\\-{\tilde {y}}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\sigma _{ss}\\\sigma _{sy}\\\sigma _{sz}\end{Bmatrix}}\right]\cdot {\begin{Bmatrix}u(s)\\v(s)\\w(s)\\\varphi (s)\\\theta _{x}(s)\\\theta _{y}(s)\\\theta _{z}(s)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}N_{x}\\Q_{y}\\Q_{z}\\B_{\omega }\\M_{x}\\M_{y}\\M_{z}\end{Bmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}u(s)\\v(s)\\w(s)\\\varphi (s)\\\theta _{x}(s)\\\theta _{y}(s)\\\theta _{z}(s)\end{Bmatrix}}$

(En la ecuación anterior se ha introducido la función de alabeo ω(y,z) y el alabeo unitario φ para dar cuenta de la conexión entre tensión normal y torsión en piezas de sección no circular).

Esfuerzos sobre un prisma mecánico

Los esfuerzos generalizados sobre una sección transversal de una pieza prismática vienen dados por el resultado de la integral, igualando término a término se llega a:

${\begin{cases}N_{x}=\int _{A}\sigma _{ss}\ dydz=EA{\cfrac {du}{ds}}+ES_{y}{\cfrac {d\theta _{y}}{ds}}-ES_{z}{\cfrac {d\theta _{z}}{ds}}\\Q_{y}=\int _{A}\sigma _{sy}\ dydz=GA\left({\cfrac {dv}{ds}}-\theta _{z}\right)-G{\hat {S}}_{y}\left({\cfrac {d\theta _{x}}{ds}}-\varphi \right)\\Q_{z}=\int _{A}\sigma _{sz}\ dydz=GA\left({\cfrac {dw}{ds}}+\theta _{y}\right)+G{\hat {S}}_{z}\left({\cfrac {d\theta _{x}}{ds}}-\varphi \right)\end{cases}}$

${\begin{cases}B_{\omega }=\int _{A}\omega \sigma _{ss}\ dydz=EI_{\omega }{\cfrac {d\varphi }{ds}}\end{cases}}$

${\begin{cases}M_{x}=\int _{A}(-{\hat {z}}\sigma _{sy}+{\hat {y}}\sigma _{sz})\ dydz=G\left[J\left({\frac {d\theta _{x}}{ds}}+{\frac {\kappa }{1-\kappa }}\left({\frac {d\theta _{x}}{ds}}-\varphi \right)\right)+{\hat {S}}_{z}\left({\frac {dw}{ds}}+\theta _{y}\right)-{\hat {S}}_{y}\left({\frac {dv}{ds}}-\theta _{z}\right)\right]\\M_{y}=+\int _{A}{\tilde {z}}\sigma _{ss}\ dydz=EI_{y}{\cfrac {d\theta _{y}}{ds}}-EI_{yz}{\cfrac {d\theta _{z}}{ds}}+ES_{y}{\cfrac {du}{ds}}\\M_{z}=-\int _{A}{\tilde {y}}\sigma _{ss}\ dydz=EI_{z}{\cfrac {d\theta _{z}}{ds}}-EI_{yz}{\cfrac {d\theta _{y}}{ds}}-ES_{z}{\cfrac {du}{ds}}\end{cases}}$

Las magnitudes geométricas $A,S_{y},S_{z};I_{y},I_{z},I_{yz};I_{\omega },{\hat {S}}_{y},{\hat {S}}_{y};J,\kappa$ son precisamente las magnitudes las definidas en la #Descripción geométrica de la sección transversal.