Elipsoide

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Elipsoide

Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de esferoide.

En la figura a la derecha se presenta el caso de la elipse de ecuación

${\frac {\ x^{2}}{9}}+{\frac {\ y^{2}}{4}}=1$

en el sistema de coordenadas

$(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$

, cuyos ejes de simetría son los del sistema,

$(O,{\vec {i}}){\mbox{ y }}(O,{\vec {j}})$

.
Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, z, tiene en este caso el mismo papel que y, luego aparece en la misma forma en la ecuación del elipsoide:

${\frac {\ x^{2}}{9}}+{\frac {\ y^{2}}{4}}+{\frac {\ z^{2}}{4}}=1$

y, como y, z varía entre -2 y 2.
Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y z tiene el mismo papel que x, luego la ecuación es:

${\frac {\ x^{2}}{9}}+{\frac {\ y^{2}}{4}}+{\frac {\ z^{2}}{9}}=1$

y, como x, z varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.

Se han representado las dos superficies - a la izquierda la de tipo «pelota de rugby» (correspondiente al esbozo en rojo) y a la derecha la del tipo «canto rodado» (esbozo en azul) - aumentando sus diferencias tomando la longitud igual a dos veces la anchura.

Se generaliza el concepto de elipsoide al incluir superficies que no se obtienen por rotación. En un sistema de coordenadas cuyo centro es el de simetría de la superficie, cuyos ejes son también ejes de simetría de la misma, la ecuación de un elipsoide cualquiera es:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Las constantes a, b y c son los las longitudes de los semiejes del elipsoide (ver figura, donde a = 2, b = 3 y c = 1) lo que se justifica al observar que los puntos A(a, 0 ,0), A'(-a, 0, 0), B(0, b, 0), B'(0, -b, 0), C(0, 0, c) y C'(0, 0, -c) pertenecen a la superficie porque son soluciones obvias de su ecuación.
Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un esferoide, y cuando a = b = c, de una esfera de radio a.

El elipsoide se define por ser una cuádrica acotada en el espacio, o, empleando la terminología del espacio proyectivo, por no tener punto infinito.

El elipsoide anterior se obtiene estirando la esfera unitaria de ecuación

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\$

por un factor a en la dirección de las abscisas (es decir aplicando la trasformación x→ax) , por un factor b en las ordenadas (aplicando y→by) y c en las z (con z→cz). Estas tres trasformaciones sucesivas multiplican los volúmenes por a·b·c, por tanto, conociendo el volumen de la esfera unitaria

$V={\frac {4\pi }{3}}$

, se obtiene lo siguiente:

el volumen contenido en el elipsoide es:

$V={\frac {4\pi abc}{3}}$

Estas tres trasformaciones permiten deducir, a partir de las coordenadas esféricas, la parametrización del elipsoide, es decir la manera de localizarse en esta superficie:

$\left\{{\begin{matrix}x&=&a\cdot \cos \theta \cdot \cos \phi \\y&=&b\cdot \cos \theta \cdot {\mbox{sen }}\phi \\z&=&c\cdot {\mbox{sen }}\theta \end{matrix}}\right.\qquad {\mbox{con }}-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}},\ \ {\mbox{ y }}\ \ -\pi <\phi \leq \pi$

Nótese que θ y Φ no corresponden a ángulos geométricos en el elipsoide mismo sino en la esfera unitaria porque la trasformación (x, y, z) →(a·x, b·y, c·z) desforma los ángulos.

No existe una fórmula sencilla para calcular la superficie de un elipsoide; en el caso del elipsoide de revolución se puede expresarla mediante las bien llamadas integrales elípticas.