Número áureo

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, sección áurea, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en honor al escultor griego Fidias), es el Número irracional:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618033988\,749\,894\,848\,204\,586\,834\,365\,638\ ...$

Se trata de un Número algebraico que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza en elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, etc.

Asimismo, se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia Mística. A lo largo de la historia, se le ha atribuido importancia en diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido objetables para las matemáticas y la arqueología.

Definición

Números γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binario	1,1001111000110111011...
Decimal	1,6180339887498948482...
hexadecimal	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Fracción continua	$1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$
Algebraico	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Se dice que dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi$

Para obtener el valor de $\varphi$ a partir de esta razón considere lo siguiente:

Que la longitud del segmento más corto b sea 1 y que la de a sea x. Para que estos segmentos cumplan con la razón áurea deben cumplir que:

${\frac {1+x}{x}}={\frac {x}{1}}$

Multiplicando ambos lados por x y reordenando:

$\ x^{2}-x-1=0$

Mediante la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado se obtiene que las dos soluciones de la ecuación son

$x_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1,61803$

$x_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\frac {1}{\varphi }}\approx -0,61803$

La solución positiva es el valor del número áureo, y esto es una prueba formal de que el número áureo es irracional, ya que incluye la raíz de un número primo.

Historia del número áureo

Existen numerosos textos que sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en ciertas estelas Babilonias y Asirias de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo no existe documentación histórica que indique que el número áureo fue usado conscientemente por los arquitectos o artistas en la construcción de las estelas. También es importante notar que cuando se mide una estructura complicada es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además para que se pueda considerar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos relativamente obvios del objeto y este no es el caso de los elaborados teoremas que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Euclides en Los Elementos.

Euclices demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir es irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo, sin embargo, a veces ese le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen."

Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los Pitagóricos, eran de particular importancia y la llave a la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se dio a la tarea de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco Sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teaetus. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito, para Platón cada uno de los sólidos correspondía a uno de las partículas que conformaban cada uno de los elementos. Según Platón, la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al Tetraedro, el aire al Octaedro, el agua al Icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el Dodecaedro.

En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publica su libro De Divina Proportione (La Proporción Divina), en el que plantea cinco razones por las que considera apropiado considerar divino al Número áureo:

1. La Unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la Unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
3. La inconmesurabilidad; para Pacioli la inconmesurabilidad del número áureo, y la inconmesurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la Omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el Dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571‏‎-1630‏‎), desarrolló un modelo Platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos

“La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras‏‎; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”

Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El Misterio Cósmico).

.

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada."

Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ del griego τομή que significa corte o sección. Sin embargo, la moderna denominación Φ ó φ, la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias ya que ésta era la primera letra de su nombre Φειδίας. Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Live, de Sir Theodore Cook.

El número áureo en las Matemáticas

Propiedades y representaciones

Propiedades algebraicas

• Φ es el único Número real positivo tal que:

$\varphi ^{2}=\varphi +1\$

La expresión anterior es fácil de comprobar:

$\varphi ^{2}={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{2^{2}}}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2^{2}}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$

$\varphi +1={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {2}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$

• Φ posee además las siguientes propiedades:

$\varphi -1={\frac {1}{\varphi }}\$

$\varphi ^{3}={\frac {\varphi +1}{\varphi -1}}\$

• Las potencias del número áureo pueden ser escritas en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, estableciendo una verdadera Sucesión recurrente de potencias.

El caso más simple es: $\Phi ^{n}=\Phi ^{n-1}+\Phi ^{n-2}$, cualquiera sea n entero positivo. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.

Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma $a_{1}u_{n+k-1}+a_{2}u_{n+k-2}+...+a_{k}u_{n}$, donde $a_{i}$ es cualquier Número real o complejo y k es un Número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es $k=2$, $a_{1}=1$ y $a_{2}=1$.

Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:

$\Phi ^{n}=\Phi ^{n-2}+2\Phi ^{n-3}+\Phi ^{n-4}$. Aquí $k=4$, $a_{1}=0$, $a_{2}=1$, $a_{3}=2$ y $a_{4}=1$.

Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:

$\Phi ^{n}=\Phi ^{n-3}+3\Phi ^{n-4}+3\Phi ^{n-5}+\Phi ^{n-6}$

En general:

$\Phi ^{n}=\sum _{i=0}^{\textstyle {\frac {1}{2}}k}{\textstyle {\frac {1}{2}}k \choose i}\Phi ^{\textstyle n-\left(\textstyle {\frac {1}{2}}k+i\right)}$; $k\in \mathbb {N}$, k un número par, $n\in \mathbb {N}$, $i\in \mathbb {N}$.

En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8, ..., 2n; donde n es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de $\Phi$, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de $\Phi$ corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.

Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el Número e hay un parentesco.

• El número áureo ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ es la unidad fundamental «ε» del cuerpo $\mathbb {R} \left({\sqrt {5}}\right)$ y la sección áurea ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ es su inversa, «$\varepsilon ^{-1}$». En esta extensión el «emblemático» número irracional ${\sqrt {2}}$ cumple las siguientes igualdades:

${\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\sqrt {3-{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}$.

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

$\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}$

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la Convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un Número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado de aproximabilidad mediante racionales posible.

Representación mediante ecuaciones algebraicas

$(\varphi )(\varphi -1)=1\quad \longrightarrow \quad (\varphi )^{2}-\varphi -1=0\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

El número áureo ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ y la sección áurea ${\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ son soluciones de las siguientes ecuaciones:

$\ x^{2}-{\sqrt {5}}\,x+1=0$

$\ x^{3}-y^{3}-4=0$

$\ x^{4}-3x^{2}+1=0=(x^{2}-x-1)(x^{2}+x-1)$

Representación trigonométrica

$\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }$

$\varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }$

$\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }$

$\varphi ={\frac {1}{2}}sec{\frac {2}{5}}\,\pi ={\frac {1}{2}}sec72^{\circ }$

Estas corresponden al hecho de que el lado de un pentágono regular es φ veces la longitud de su radio y de otras relaciones similares en el Pentágrama.

En 1994 se derivaron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo con el Número de la Bestia:

$-{\frac {\varphi }{2}}=\sin 666^{\circ }=\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ }).$

Lo que puede combinarse en la expresión:

$-\varphi =\sin 666^{\circ }+\cos(6\cdot 6\cdot 6^{\circ }).$

Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los Grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.

Representación mediante raíces anidadas

$\varphi ={\sqrt {1+\varphi }}\quad \longrightarrow \quad \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}$

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión $\lim _{n\to \infty }{\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+{\sqrt {a_{3}+{\sqrt {a_{4}+{\sqrt {\cdots +{\sqrt {a_{n}}}}}}}}}}}}}$ (donde $a_{i}=a$), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación x² - x - a = 0; o sea, ${\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$

Relación con la serie de Fibonacci

Si se denota el enésimo Número de Fibonacci como F_n, y al siguiente número de Fibonacci, como F_{n + 1}, descubrimos que a medida que n aumenta, esta razón oscila siendo alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: $\textstyle {\frac {3}{2}}$= 1.5, $\textstyle {\frac {8}{5}}$= 1.6, y $\textstyle {\frac {21}{13}}$= 1.61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

$\varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\phi$

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo aleman Johannes Kepler, sin embargo, pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

A mediados del siglo XIX el matemático francés Jacques Phlipe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

$F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]\quad ={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left(\phi \right)^{n}-\left({\frac {-1}{\phi }}\right)^{n}\right]\quad$

El número áureo en la geometría

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

• Relaciones entre las partes del pentágono.
• Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentáculo o pentagrama.
• Relaciones entre las partes del decágono.
• Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro.

El rectángulo áureo de Euclides

Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo.

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los Elementos obtiene su construcción.>

$GC={\sqrt {5}}$

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

$GE=GC={\sqrt {5}}$

resultando evidente que

$AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}$

de donde, finalmente

${\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

En el pentagrama

El número áureo tiene un papel muy importante en los Pentágonos regulares y en los Pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento, intersecta a otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos Isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los Triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una Recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto el número de veces en que aprarece el número áureo en el pentagrama es infinito al anidar infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el Teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema al cuadrilátero formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden a, y los lados y la base menor miden b, resulta que b² = a² + ab lo que implica:

${b \over a}={{(1+{\sqrt {5}})} \over 2}\,.$

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el Icosaedro y el Dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los vértices de un icosaedro puden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0,$\phi$, 1), (0,$\phi$, -1), (0,$-\phi$, 1), (0,$-\phi$, -1), (1, 0,$\phi$), (1, 0,$-\phi$), (-1, 0,$\phi$), (-1, 0,$-\phi$), ($\phi$, 1, 0), ($\phi$, -1, 0), ($-\phi$, 1, 0), ($-\phi$, -1, 0)

Los vértices de un dodecaedro también se puden dar en términos similares: (0, $\phi$,$\phi$), (0,$\phi$,$-\phi$), (0,$-\phi$,$\phi$), (0,$-\phi$,$-\phi$), ($\phi$, 0,$\phi$), ($\phi$, 0,$-\phi$), ($-\phi$, 0,$\phi$), ($-\phi$, 0,$-\phi$), ($\phi$,$\phi$, 0), ($\phi$, $-\phi$, 0), ($-\phi$,$\phi$, 0), ($-\phi$, $-\phi$, 0), (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

Para un dodecaedtro con aristas de longitid a, su volumen y su área total se puden expresar también en términos del número áureo:

$A=a{\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}$

$V=a{\frac {5\phi ^{3}}{\sqrt {6-2\phi }}}$

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro:

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodeaedro como del icosaedro.

El número áureo en la Naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea:

• No hay simetría pentagonal ni pentágonos en la materia inanimada. El pentágono surge únicamente en los seres vivos, ningún cristal, por ejemplo, tiene forma pentagonal.
• Leonardo de Pisa (Fibonacci), en su Libro de los ábacos (Liber abacci, 1202, 1228), usa la sucesión que lleva su nombre para calcular el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos están aislados por muros, se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad, tardan un mes desde la fecundación hasta la parición y cada camada es de dos conejos). Este es un problema matemático puramente independiente de que sean conejos los involucrados. En realidad, el conejo común europeo tiene camadas de 4 a 12 individuos y varias veces al año, aunque no cada mes, pese a que la preñez dura 32 días. El problema se halla en las páginas 123 y 124 del manuscrito de 1228, que fue el que llegó hasta nosotros, y parece que el planteo recurrió a conejos como pudiera haber sido a otros seres; es un soporte para hacer comprensible una incógnita, un acertijo matemático . El cociente de dos términos sucesivos de la Sucesión de Fibonacci tiende a la sección áurea o al número áureo si la fracción resultante es propia o impropia, respectivamente. Lo mismo sucede con toda sucesión recurrente de orden dos, según demostraron Barr y Schooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.

• La relación entre la cantidad de Abejas macho y abejas hembra en un panal.
• La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).
• La distribución de las hojas en un tallo. Ver: Sucesión de Fibonacci.
• La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
• La relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, o entre las ramas principales y las secundarias (el grosor de una equivale a Φ tomando como unidad la rama superior).
• La distancia entre las espirales de una piña‏‎.

• La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del Nautilus) Hay por lo menos tres espirales logarítmicas en las que se puede encontrar de alguna manera al número áureo. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento. Se debe entender que en toda consideración natural, aunque involucre a las ciencias consideradas más matemáticamente desarrolladas, como la Física, ninguna relación o constante que tenga un número infinito de decimales puede llegar hasta el límite matemático, porque en esa escala no existiría ningún objeto físico. La partícula elemental más diminuta que se pueda imaginar es infinitamente más grande que un punto en una recta. Las leyes observadas y descriptas matemáticamente en los organismos las cumplen transgrediéndolas orgánicamente.

El número áureo en el ser humano

• La Anatomía de los humanos se basa en una relación Φ estadística y aproximada, así vemos que:
  • La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
  • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es phi.
  • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz
  • Es phi la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar
  • Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene phi, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).

El número áureo en el Arte

• Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo $\left(\ 1,\;{\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}},\;{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)$, donde 1 representa proporcionalmente a la mitad de la base, la raíz cuadrada del número áureo a la altura hasta el vértice inexistente y el número áureo o hipotenusa del triángulo a la apotema de la Gran Pirámide. Esta tesis ha sido defendida por los matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W. A. Price (ver referencias), cuenta con el testimonio histórico de Heródoto y resulta teóricamente con sentido, aunque una construcción de semejante tamaño deba contener errores inevitables a toda obra arquitectónica y a la misma naturaleza de la tecnología humana, que en la práctica puede manejar únicamente números racionales. Los demás investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático. No obstante, en base a mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.).Durante el primer cuarto del siglo XX, Jay Hambidge, de la Universidad de Yale, se inspiró en un pasaje del Theeteto de Platón para estudiar las proporciones relativas de las superficies, algo muy natural cuando se trata de obras arquitectónicas. Dos rectángulos no semejantes se distinguen entre sí por el cociente de su lado mayor por el menor, número que basta para caracterizar a estas figuras y que denominó módulo del rectángulo. Un cuadrado tiene módulo 1 y el doble cuadrado módulo 2. Aquellos rectángulos cuyos módulos son números enteros o racionales fueron denominados "estáticos" y los que poseen módulos irracionales euclidianos, o sea, expresables algebraicamente como raíces de ecuaciones cuadráticas o reducibles a ellas, "dinámicos". El doble cuadrado es a la vez estático y dinámico, pues 2 es la raíz cuadrada de 4. Un ejemplo de rectángulo dinámico elemental es aquel que tiene por lado mayor a la raíz cuadrada de 5 y por lado menor a la unidad, siendo su módulo la raíz cuadrada de 5. Posteriormente Hambidge estudió a los monumentos y templos griegos y llegó a encuadrar el frontón del Partenón en un rectángulo de módulo ${\frac {4\Phi -2}{\Phi +1}}$. Por medio de cuatro diagonales suministra las principales proporciones verticales y horizontales. Este rectángulo es descompuesto en seis de módulo ${\sqrt {5}}$ y cuatro cuadrados. Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores,en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.

• En el cuadro Leda atómica de Salvador Dalí‏‎, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka.

• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el Hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussý (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).
• En la pág. 61 de la novela de Dan Brown El código Da Vinci aparece una versión desordenada de los primeros ocho números de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como una pista dejada por el curador del museo del Louvre, Jacques Saunière. En las pp. 121 a 123 explica algunas de las apariciones de este número fi (1,618) en la naturaleza.
• En el episodio “Sabotaje” de la serie de televisión NUMB3RS (primera temporada, 2005), el genio de la matemática Charlie Eppes menciona que el número fi se encuentra en la estructura de los cristales, en la espiral de las galaxias y en la concha del nautilus.

• Arte Póvera, movimiento artístico italiano de los años 1960, muchas de cuyas obras se basan en esta sucesión.
• En la cinta de Darren Aronofsky Pi, fe en el caos el personaje central, Max Cohen, explica la relación que hay entre los números de Fibonacci y la sección áurea, aunque denominándola incorrectamente como Theta (θ) en vez de Phi (Φ).

El número áureo en la Música

Es necesario aclarar que cuando se menciona al número áureo en una realización artística de cualquier naturaleza no se está haciendo mención al número áureo de los matemáticos, un irracional con infinitos decimales, sino a una aproximación racional adecuada a las circunstancias o a un dibujo hecho con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura fija o variable. Generalmente se utilizan cocientes de números pertenecientes a la Sucesión de Fibonacci que dan valores aproximados, alternativamente por defecto o por exceso, según la necesidad o la sensibilidad humana y hasta la capacidad de separación tonal de cada instrumento. Un violín, por ejemplo, puede separar hasta un tercio de Tono. El oído humano sano y entrenado distingue hasta trescientos sonidos por Octava. Como un ejemplo conocido y no discutido tenemos a la escala atemperada o templada. Esta es una escala logarítmica. Se creó muy poco tiempo después de que los logaritmos pasaran al patrimonio de la matemática. La octava atemperada está basada en ${\sqrt[{12}]{2}}$. Este número irracional tiene infinitos decimales, pero la afinación se hace redondeando las cifras de las frecuencias a uno o dos decimales. De cualquier manera, el error tonal total cometido no es superior al doceavo de tono y el oído humano no lo nota. La uniformidad de la separación de las notas y la coincidencia de Bemoles y Sostenidos permite comenzar una melodía por cualquier nota sin que se produzcan las desagradables Disonancias de la Escala diatónica y la Escala física. De la misma manera se actúa con la distribución de tiempos o la altura de los tonos usando el número áureo; con una aproximación racional que resulte práctica. Existen numerosos estudios al respecto, principalmente de la Universidad de Cambridge.

• Autores como Bártok, Messiaen y Stockhausen, entre otros, compusieron obras cuyas unidades formales se relacionan (a propósito) con la sección áurea.

• El compositor mexicano Silvestre Revueltas (1899-1945) utilizó también el número áureo en su obra Alcancías, para organizar las partes (unidades formales).

• El grupo de rock progresivo norteamericano Tool, en su disco Lateralus (2001) hacen múltiples referencias al número áureo y a la Sucesión de Fibonacci, sobre todo en la canción que da nombre al disco, pues los versos de la misma están cantados de forma que el número de sílabas pronunciadas en cada uno van componiendo dicha secuencia. Además la voz entra en el minuto 1:37, que pasado al sistema decimal coincide muy aproximadamente con el número áureo.

• Zeysing notó la presencia de los números 3, 5, 8 y 13, de la Sucesión de Fibonacci, en el cálculo de los intervalos aferentes a los dos tipos de acordes perfectos. Los dos tonos del acorde mayor final, mi y do por ejemplo (la sexta menor o tercia mayor invertida en do mayor), están entre sí en la razón cinco octavos. Los dos tonos del acorde menor final, por ejemplo, mi bemol y do (sexta mayor o tercia transpuesta en do menor) dan la razón tres quintos.

Referencias

Referencias e información de imágenes pulsando en ellas.

Jarolimek (Viena, 1890), Der Mathematischen Schlüssel zu der Pyramide des Cheops.

Kleppisch, K. (1921), Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal Mathematischer Erkenntnis, Munich: Oldenburg.

Cook, Theodore Andrea (1979; obra original: 1914), The Curves of Live, Nueva York: Dover. ISBN 0-486-23701-X; ISBN 978-0-486-23701-5.

Ghyka, Matila (1992), El Número de Oro, Barcelona: Poseidón, S.L.. ISBN 978-84-85083-11-4.

Ghyka, Matila (2006), El Número de Oro. I Los ritmos. II Los Ritos, Madrid: Ediciones Apóstrofe, S. L.. ISBN 978-84-455-0275-4.

Pacioli, Luca (1991), La Divina Proporción, Tres Cantos: Ediciones Akal, S. A.. ISBN 978-84-7600-787-7.

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