Coordenadas cartesianas

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Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formadas por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

En adelante, las magnitudes vectoriales en negrita.

Sistema de coordenadas en la recta

Corresponde a la dimensión uno, y que representaremos con el eje x, en este eje hay un centro de coordenadas, que representaremos con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: ${\vec {i}}$.

Un punto cualquiera de la recta puede representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O(letra O) corresponde al valor 0(cero).

Este sistema de coordenadas es un Espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales, en ocasiones también se llama Recta real.

Un punto:

$A=({x_{A}})\,$

La distancia entre dos punto A y B es:

$d_{\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}}}\,$

que en este caso es lo mismo que:

$d_{\overline {AB}}=|x_{B}-x_{A}|\,$

Sistema de coordenadas plano

Sistema de coordenadas cartesianas

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de Módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posición del punto A será:

$A=(x_{A},\,y_{A})$

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:

$d_{\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}\,$

Aplicación del Teorema de Pitágoras‏‎ al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

${\overline {AB}}=(x_{B}-x_{A})\,{\vec {i}}+(y_{B}-y_{A})\,{\vec {j}}$

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia d_AB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial

coordenadas cartesianas espaciales

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z < 0 y z > 0.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del punto A serán:

$A=(x_{A},\,y_{A},\,z_{A})$

La distancia entre los puntos A y B será:

$d_{\overline {AB}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}\,$

El segmento AB será:

${\overline {AB}}=(x_{B}-x_{A})\,{\vec {i}}+(y_{B}-y_{A})\,{\vec {j}}+(z_{B}-z_{A})\,{\vec {k}}$

Cambio del sistema de coordenadas

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).

Traslación del origen

Traslación del origen en coordenadas cartesianas

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

$S1=\{O;\;x,y\}$

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

$A=(x_{A},\;y_{A})$

dado un segundo sistema de referencia S2

$S2=\{O^{\prime };\;x^{\prime },y^{\prime }\}$

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; y y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

$O^{\prime }=(x_{O^{\prime }},\;y_{O^{\prime }})$

Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores. Que llamaremos:

$A^{\prime }=(x_{A}^{\prime },\;y_{A}^{\prime })$

Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:

${\overline {OA}}={\overline {OO^{\prime }}}+{\overline {O^{\prime }A}}$

despejando

${\overline {O^{\prime }A}}={\overline {OA}}-{\overline {OO^{\prime }}}$

Lo que es lo mismo que:

$(x_{A}^{\prime },\;y_{A}^{\prime })=(x_{A},\;y_{A})-(x_{O^{\prime }},\;y_{O^{\prime }})$

Separando los vectores por coordenadas:

$x_{A}^{\prime }=x_{A}-x_{O^{\prime }}$

$y_{A}^{\prime }=y_{A}-y_{O^{\prime }}$

y ampliándolo a tres dimensiones:

$z_{A}^{\prime }=z_{A}-z_{O^{\prime }}$

Rotación alrededor del origen

Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas

Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

$S1=\{O;\;x,y\}$

y una basa ortonormal de este sistema:

$B1=\{{\vec {i}},{\vec {j}}\}$

Un punto A del plano, se representara en este sistema según sus coordenadas:

${A}=x_{A}\,{\vec {i}}+y_{A}\,{\vec {j}}$

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo $\alpha \,$, respecto al primero:

$S2=\{O;\;x^{\prime },y^{\prime }\}$

y con una basa ortonormal:

$B2=\{{\vec {i^{\prime }}},{\vec {j^{\prime }}}\}$

Al calculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, lo llamaremos rotación alrededor del origen, siendo su representación:

${A^{\prime }}=x_{A}^{\prime }\,{\vec {i^{\prime }}}+y_{A}^{\prime }\,{\vec {j^{\prime }}}$

Hay que tener en cuenta que el punto $A\,$ y $A^{\prime }\,$ son el mismo punto, $A\equiv A^{\prime }$; empleamos una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema si que son diferentes, y es lo que se pretende calcular.

La representación de B1 en B2 es:

${\vec {i}}=\cos {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}-\sin {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}}$

${\vec {j}}=\sin {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}+\cos {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}}$

Dado que el punto A en B1 es:

${A}=x_{A}\,{\vec {i}}+y_{A}\,{\vec {j}}$

con la transformación anterior tenemos:

${A}=x_{A}\,(\cos {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}-\sin {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}})+y_{A}\,(\sin {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}+\cos {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}})$

deshaciendo los paréntesis:

${A}=x_{A}\,\cos {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}-x_{A}\,\sin {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}}+y_{A}\,\sin {\alpha }\,{\vec {i^{\prime }}}+y_{A}\,\cos {\alpha }\,{\vec {j^{\prime }}}$

reordenando:

${A}=(x_{A}\,\cos {\alpha }+y_{A}\,\sin {\alpha })\,{\vec {i^{\prime }}}+(-x_{A}\,\sin {\alpha }+y_{A}\,\cos {\alpha })\,{\vec {j^{\prime }}}$

Como:

$A\equiv A^{\prime }$;

Tenemos que:

${A^{\prime }}=(x_{A}\,\cos {\alpha }+y_{A}\,\sin {\alpha })\,{\vec {i^{\prime }}}+(-x_{A}\,\sin {\alpha }+y_{A}\,\cos {\alpha })\,{\vec {j^{\prime }}}$

Como sabíamos:

${A^{\prime }}=x_{A}^{\prime }\,{\vec {i^{\prime }}}+y_{A}^{\prime }\,{\vec {j^{\prime }}}$

Por identificación de términos:

$x_{A}^{\prime }=\;x_{A}\,\cos {\alpha }+y_{A}\,\sin {\alpha }$

$y_{A}^{\prime }=-x_{A}\,\sin {\alpha }+y_{A}\,\cos {\alpha }$

Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de ${\alpha }\,$.

Calculo matricial

Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Referencias

Referencias e información de imágenes pulsando en ellas.