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Diferencia entre revisiones de «Paraboloide»
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[[ | [[Archivo:Paraboloide de revolución 1.png|250px|right]] | ||
El paraboloide es, cuando no se precisa, un '''paraboloide de revolución''', es decir la superficie generada por la rotación de una [[parábola]] alrededor de su eje de simetría (ver figura a la derecha).<br> | El paraboloide es, cuando no se precisa, un '''paraboloide de revolución''', es decir la superficie generada por la rotación de una [[parábola]] alrededor de su eje de simetría (ver figura a la derecha).<br> | ||
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Esta ecuación proviene de la de la parábola: y = a·x<sup>2</sup> donde se ha remplazado y por z porque la parábola que genera la paraboloide es vertical ("de pie"), y luego se remplaza x<sup>2</sup> por x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> para incluir la tercera dimensión (el eje de las ordenadas es horizontal como él de las abscisas y tiene el mismo papel). Así la parábola de referencia y = x<sup>2</sup> genera por rotación el paraboloide z = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>. | Esta ecuación proviene de la de la parábola: y = a·x<sup>2</sup> donde se ha remplazado y por z porque la parábola que genera la paraboloide es vertical ("de pie"), y luego se remplaza x<sup>2</sup> por x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> para incluir la tercera dimensión (el eje de las ordenadas es horizontal como él de las abscisas y tiene el mismo papel). Así la parábola de referencia y = x<sup>2</sup> genera por rotación el paraboloide z = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup>. | ||
[[ | [[Archivo:Paraboloide de revolución 2.png|*|300px]] | ||
La intersección del paraboloide anterior por un plano vertical (es decir paralelo al eje de simetría) se obtiene logicamente una parábola, mientras que si se corta por un plano horizontal (ortogonal al eje mensionado) se obtiene un círculo (ver figura a la izquierda). | La intersección del paraboloide anterior por un plano vertical (es decir paralelo al eje de simetría) se obtiene logicamente una parábola, mientras que si se corta por un plano horizontal (ortogonal al eje mensionado) se obtiene un círculo (ver figura a la izquierda). | ||
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<center><math>z = \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2}</math></center><br> | <center><math>z = \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2}</math></center><br> | ||
Se llama '''paraboloide elíptico''' a esta superficie, porque las secciones por los planos horizontales (z = k ) son [[elipse]]s (de ecuación <math>\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = k</math>, sus semiejes son k·a y k·b ) en vez de círculos como en el paraboloide de revolución, pero sus secciones por planos verticales siguen siendo parábolas. No se ha representado esta superficie por ser de aspecto muy similar a la figura anterior (bastaría con alargarla en una dirección horizontal).<br> | Se llama '''paraboloide elíptico''' a esta superficie, porque las secciones por los planos horizontales (z = k ) son [[elipse]]s (de ecuación <math>\frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = k</math>, sus semiejes son k·a y k·b ) en vez de círculos como en el paraboloide de revolución, pero sus secciones por planos verticales siguen siendo parábolas. No se ha representado esta superficie por ser de aspecto muy similar a la figura anterior (bastaría con alargarla en una dirección horizontal).<br> | ||
[[ | [[Archivo:Paraboloide hiperbólico.png|right|250px]] | ||
Si B es negativo, se pone <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>A = \frac 1 {a^2} , B = - \frac 1 {b^2} </math></div>, y la ecuación será:<br><br> | Si B es negativo, se pone <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>A = \frac 1 {a^2} , B = - \frac 1 {b^2} </math></div>, y la ecuación será:<br><br> | ||
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Se llama '''paraboloide hiperbólico''' a esta superficie (no confundir con los [[hiperboloide]]s), representada según dos puntos de vista distintos en la figura a la derecha: en una dirección (en el plano ''y = 0'') presenta el aspecto de una parábola orientada hacia arriba (de ecuación <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> z = \frac {x^2} {a^2}</math></div> ), y en otra dirección perpendicular (en el plano ''x = 0'') la de una parábola orientada hacia abajo (de ecuación <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> z = -\frac {y^2} {a^2}</math></div> ). Las secciones por planos horizontales son [[hipérbola]]s - lo que justifica su apelación - como queda representado en la figura abajo. | Se llama '''paraboloide hiperbólico''' a esta superficie (no confundir con los [[hiperboloide]]s), representada según dos puntos de vista distintos en la figura a la derecha: en una dirección (en el plano ''y = 0'') presenta el aspecto de una parábola orientada hacia arriba (de ecuación <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> z = \frac {x^2} {a^2}</math></div> ), y en otra dirección perpendicular (en el plano ''x = 0'') la de una parábola orientada hacia abajo (de ecuación <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math> z = -\frac {y^2} {a^2}</math></div> ). Las secciones por planos horizontales son [[hipérbola]]s - lo que justifica su apelación - como queda representado en la figura abajo. | ||
[[ | [[Archivo:Paraboloide hiperbólico sección.png|left]] | ||
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Se llama también ''silla de montar'' a esta superficie, o ''puerto de montaña''. Es una forma fundamental en la topología, y el vértice (el origen) tiene la propiedad de ser un máximo de la función <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>f(x,y) = \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2}</math></div> cuando ''y'' varía, y un mínimo de la misma cuando ''x'' varía. Este punto es por tanto a la vez un máximo y un mínimo, un «minimax». En la teoría de los juegos representa un punto de equilibrio, y muchas teorías en economía utilizan el minimax (un agente económico impone el valor de ''x'' y quiere maximizar el valor de ''f(x,y)'' mientras que otro agente varía el valor de ''y'' para minimizar el mismo ''f(x,y)'') . | Se llama también ''silla de montar'' a esta superficie, o ''puerto de montaña''. Es una forma fundamental en la topología, y el vértice (el origen) tiene la propiedad de ser un máximo de la función <div style="vertical-align:+20%;display:inline;"><math>f(x,y) = \frac {x^2} {a^2} - \frac {y^2} {b^2}</math></div> cuando ''y'' varía, y un mínimo de la misma cuando ''x'' varía. Este punto es por tanto a la vez un máximo y un mínimo, un «minimax». En la teoría de los juegos representa un punto de equilibrio, y muchas teorías en economía utilizan el minimax (un agente económico impone el valor de ''x'' y quiere maximizar el valor de ''f(x,y)'' mientras que otro agente varía el valor de ''y'' para minimizar el mismo ''f(x,y)'') . | ||
