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Diferencia entre revisiones de «Esfera»
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== Superficie y Volumen == | == Superficie y Volumen == | ||
La [[superficie]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''S = 4·π·r<sup>2</sup>'''</font> | La [[superficie]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''S = 4·π·r<sup>2</sup>'''</font> | ||
El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | ||
Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño '''dr''', y los volúmenes de estas capas se aproximan a '''S(r)·dr''' cuando '''dr''' tiende hacia cero.<br/> | Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño '''dr''', y los volúmenes de estas capas se aproximan a '''S(r)·dr''' cuando '''dr''' tiende hacia cero.<br/> | ||
Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio ''r'' varía de cero a ''R'' da por definición la [[integral (matemáticas)|integral]] siguiente: | Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio ''r'' varía de cero a ''R'' da por definición la [[integral (matemáticas)|integral]] siguiente: | ||
<center><math>V(R) = \int_0^R S(r)dr</math></center> | <center><math>V(R) = \int_0^R S(r)dr</math></center> | ||
| Línea 20: | Línea 20: | ||
Esta ecuación se obtiene considerando el punto M(x,y,z) de la esfera y diciendo que la norma del vector '''OM''' es igual a 1. | Esta ecuación se obtiene considerando el punto M(x,y,z) de la esfera y diciendo que la norma del vector '''OM''' es igual a 1. | ||
Más generalmente, la esfera de radio '''r''', de centro '''Ω(a, b, c)''' tiene como ecuación: | Más generalmente, la esfera de radio '''r''', de centro '''Ω(a, b, c)''' tiene como ecuación: | ||
<center>'''<font size=+2>(x - a)<sup>2</sup> + (y - b)<sup>2</sup> + (z - c)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup></font>'''</center><br/> | <center>'''<font size=+2>(x - a)<sup>2</sup> + (y - b)<sup>2</sup> + (z - c)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup></font>'''</center><br/> | ||
| Línea 32: | Línea 32: | ||
Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, ''r''. En este caso, la circunferencia puede llamarse '''ecuador''' o '''gran círculo'''. <br> | Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, ''r''. En este caso, la circunferencia puede llamarse '''ecuador''' o '''gran círculo'''. <br> | ||
Si la distancia ''d'' entre el plano y el centro es inferior al radio ''r'' de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el Teorema de Pitágoras:<math>r' = \sqrt{r^2 - d^2}</math> | Si la distancia ''d'' entre el plano y el centro es inferior al radio ''r'' de la esfera entonces el radio de la sección es, aplicando el Teorema de Pitágoras:<math>r' = \sqrt{r^2 - d^2}</math> | ||
[[Archivo:Esferas secciones.png|right|intersección de esferas]] | [[Archivo:Esferas secciones.png|right|intersección de esferas]] | ||
Por otra parte dos esferas se intersecan si ''' d ≤ r + r'''' y '''|r - r'| ≤ d''' (son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan ''r'', ''r''' y ''d'', donde ''d'' es la distancia entre los centros de las esferas, ''r'' y ''r''' sus radios. | |||
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero. | |||
Por otra parte dos esferas se intersecan si ''' d ≤ r + r'''' y '''|r - r'| ≤ d''' (son las desigualdades triangulares, y equivalen al que ningún lado es superior a la suma de los otros dos), es decir si existe un triángulo con lados que midan ''r'', ''r''' y ''d'', donde ''d'' es la distancia entre los centros de las esferas, ''r'' y ''r''' sus radios. | |||
En tal caso, la intersección es también una circunferencia. Cuando una de las desigualdades anteriores es una igualdad, la intersección será un mero punto, que es una circunferencia de radio cero. | |||
En general, el radio es <font style="vertical-align:+0%;"><math>\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} </math></font> con <font style="vertical-align:+0%;"><math> \quad m = \frac {r+r'+d} 2</math></font> el medio perímetro. | En general, el radio es <font style="vertical-align:+0%;"><math>\frac 2 d \sqrt{m(m-r)(m-r')(m-d)} </math></font> con <font style="vertical-align:+0%;"><math> \quad m = \frac {r+r'+d} 2</math></font> el medio perímetro. | ||
[[Archivo:Coordenadas esféricas figura.png|Coordenas esféricas]] | [[Archivo:Coordenadas esféricas figura.png|Coordenas esféricas]] | ||
| Línea 51: | Línea 51: | ||
Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con una rotación en el plano horizontal (plano del ecuador) y otra vertical (hacia un polo) el punto I puede sobreponerse a cualquier punto de la esfera.<br/> | Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Este resultado es muy intuitivo: con una rotación en el plano horizontal (plano del ecuador) y otra vertical (hacia un polo) el punto I puede sobreponerse a cualquier punto de la esfera.<br/> | ||
En geometría es norma expresar estos ángulos en radianes (permite calcular longitudes de los arcos de círculos), mientras que en geografía se usan los grados: en este contexto, θ es la [[latitud]] del punto y φ su [[longitud]] si se toma para ''I'' el punto del ecuador en el Meridiano de Greenwich y para ''K'' el polo norte. Latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio este (como ''M'' en la figura). | En geometría es norma expresar estos ángulos en radianes (permite calcular longitudes de los arcos de círculos), mientras que en geografía se usan los grados: en este contexto, θ es la [[latitud]] del punto y φ su [[longitud]] si se toma para ''I'' el punto del ecuador en el Meridiano de Greenwich y para ''K'' el polo norte. Latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y longitudes positivas al hemisferio este (como ''M'' en la figura). | ||
Introducir el tercer parámetro ''r'' = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las '''coordenadas esféricas''' (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OZ) (donde cualquier valor de φ vale). | Introducir el tercer parámetro ''r'' = OM permite localizar cualquier punto del espacio con las '''coordenadas esféricas''' (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un [[Intervalo (matemáticas)|intervalo]] semiabierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π entonces cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas salvo los del eje vertical (OZ) (donde cualquier valor de φ vale). | ||
Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:<br/> | Las coordenadas cartesianas (x, y, z) en el sistema de coordenadas (0, I, J, K) son dadas por:<br/> | ||
<center><math> \left\{ \begin{matrix} | <center><math> \left\{ \begin{matrix} | ||
x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ | x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ | ||
| Línea 64: | Línea 64: | ||
Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas: | Recíprocamente, a partir de las coordenadas cartesianas, se obtienen las esféricas con las fórmulas: | ||
<center><math> \left\{ \begin{matrix} | <center><math> \left\{ \begin{matrix} | ||
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ne 0 \\ | r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \ne 0 \\ | ||
\theta = \mbox{ arcsen } \frac z r = \mbox{ arcsen } \frac z {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ | \theta = \mbox{ arcsen } \frac z r = \mbox{ arcsen } \frac z {\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ | ||
\phi = \mbox{ arsen } \frac y {r \cos \theta} = 2 \mbox{ arsen } \frac y {\sqrt{x^2+y^2} + x} | \phi = \mbox{ arsen } \frac y {r \cos \theta} = 2 \mbox{ arsen } \frac y {\sqrt{x^2+y^2} + x} | ||
\end{matrix} \right. | \end{matrix} \right. | ||
</math></center> | </math></center> | ||
| Línea 80: | Línea 80: | ||
<font size =+2>'''x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>2</sub><sup>2</sup> + x<sub>3</sub><sup>2</sup> + ... + x<sub>n</sub><sup>2</sup> = 1'''</font> <br/> | <font size =+2>'''x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>2</sub><sup>2</sup> + x<sub>3</sub><sup>2</sup> + ... + x<sub>n</sub><sup>2</sup> = 1'''</font> <br/> | ||
Y para una esfera de radio ''r'', y centro (c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, ... , c<sub>n</sub>):<br/> | Y para una esfera de radio ''r'', y centro (c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>, ... , c<sub>n</sub>):<br/> | ||
<center><font size =+2>'''(x<sub>1</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> + (x<sub>2</sub> - c<sub>2</sub>)<sup>2</sup> + (x<sub>3</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> ... + (x<sub>n</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>'''</font></center> <br/> | <center><font size =+2>'''(x<sub>1</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> + (x<sub>2</sub> - c<sub>2</sub>)<sup>2</sup> + (x<sub>3</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> ... + (x<sub>n</sub> - c<sub>1</sub>)<sup>2</sup> = r<sup>2</sup>'''</font></center> <br/> | ||
| Línea 90: | Línea 90: | ||
Aquí están los diez primeros valores de V<sub>n</sub>(r) y las superficies correspondientes: | Aquí están los diez primeros valores de V<sub>n</sub>(r) y las superficies correspondientes: | ||
{| border=1 | {| border=1 | ||
|dimensión||1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 | |dimensión||1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 | ||
|- | |- | ||
|Volumen||2r || πr<sup>2</sup> || <u>4πr<sup>3</sup></u><br/> 3 || <u>π<sup>2</sup>r<sup>4</sup></u><br/> 2 ||<u>8π<sup>2</sup>r<sup>5</sup></u><br/>15 || <u>π<sup>3</sup>r<sup>6</sup></u><br/> 6 || <u>16π<sup>3</sup>r<sup>7</sup></u><br/>105 || <u>π<sup>4</sup>r<sup>8</sup></u><br/> 24 || <u>32π<sup>4</sup>r<sup>9</sup></u><br/> 945 || <u>π<sup>5</sup>r<sup>10</sup></u><br/> 120 | |Volumen||2r || πr<sup>2</sup> || <u>4πr<sup>3</sup></u><br/> 3 || <u>π<sup>2</sup>r<sup>4</sup></u><br/> 2 ||<u>8π<sup>2</sup>r<sup>5</sup></u><br/>15 || <u>π<sup>3</sup>r<sup>6</sup></u><br/> 6 || <u>16π<sup>3</sup>r<sup>7</sup></u><br/>105 || <u>π<sup>4</sup>r<sup>8</sup></u><br/> 24 || <u>32π<sup>4</sup>r<sup>9</sup></u><br/> 945 || <u>π<sup>5</sup>r<sup>10</sup></u><br/> 120 | ||
|- | |- | ||
|Superficie || 2 || 2πr || 4πr<sup>2</sup> || 2π<sup>2</sup>r<sup>3</sup> || <u>8π<sup>2</sup>r<sup>4</sup></u><br/> 3 || π<sup>3</sup>r<sup>5</sup> ||<u>16π<sup>3</sup>r<sup>6</sup></u><br> 15 || <u>π<sup>4</sup>r<sup>7</sup> </u><br/> 3 || <u>32π<sup>4</sup>r<sup>8</sup></u><br/> 105 || <u>π<sup>5</sup>r<sup>9</sup></u><br/> 12 | |Superficie || 2 || 2πr || 4πr<sup>2</sup> || 2π<sup>2</sup>r<sup>3</sup> || <u>8π<sup>2</sup>r<sup>4</sup></u><br/> 3 || π<sup>3</sup>r<sup>5</sup> ||<u>16π<sup>3</sup>r<sup>6</sup></u><br> 15 || <u>π<sup>4</sup>r<sup>7</sup> </u><br/> 3 || <u>32π<sup>4</sup>r<sup>8</sup></u><br/> 105 || <u>π<sup>5</sup>r<sup>9</sup></u><br/> 12 | ||
|} | |} | ||
El volumen de la bola alcanza su máximo en dimensión 5, mientras que la superficie de la esfera lo alcanza en dimensión 7. | |||
La esfera de dimensión 2 es la circunferencia, y la bola correspondiente es el círculo correspondiente, la esfera de dimensión 1 es una reunión de dos puntos distantes de dos radios, y la bola correspondiente es el segmento que los reune. | La esfera de dimensión 2 es la circunferencia, y la bola correspondiente es el círculo correspondiente, la esfera de dimensión 1 es una reunión de dos puntos distantes de dos radios, y la bola correspondiente es el segmento que los reune. | ||
| Línea 106: | Línea 106: | ||
La noción de esfera se generaliza a cualquier Espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro ''a'' y de radio ''r'' es el conjunto <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \} </math></div>, y la bola correspondiente es <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \} </math></div>. | La noción de esfera se generaliza a cualquier Espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro ''a'' y de radio ''r'' es el conjunto <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \} </math></div>, y la bola correspondiente es <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \} </math></div>. | ||
Para no ser demasiado general, nos restringimos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias. | Para no ser demasiado general, nos restringimos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias. | ||
[[Archivo:Octaedro regular.png| "Esfera" con la norma 1]] | [[Archivo:Octaedro regular.png| "Esfera" con la norma 1]] | ||
Para un vector <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\vec u(x,y,z)</math></div> cualquiera, se definen las normas siguientes: | Para un vector <div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>\vec u(x,y,z)</math></div> cualquiera, se definen las normas siguientes: | ||
[[Archivo:Esfera con norma 3.png|right|"Esfera" con la norma 3]] | [[Archivo:Esfera con norma 3.png|right|"Esfera" con la norma 3]] | ||
| Línea 114: | Línea 114: | ||
:<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_2 = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} </math></div>. Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual. | :<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_2 = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} </math></div>. Se trata de la norma euclidiana, luego S(O,1) es la esfera usual. | ||
:<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_3 = \sqrt[3]{|x|^3+ |y|^3 + |z|^3}</math></div>. S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha). | :<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_3 = \sqrt[3]{|x|^3+ |y|^3 + |z|^3}</math></div>. S(0,1) es una especie de forma intermedia entre la esfera usual y el cubo (figura a la derecha). | ||
:<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_\infty = max(|x|,|y|,|z|)</math></div>. S(0,1) es un cubo. | :<div style="vertical-align:+15%;display:inline;"><math>||\vec u||_\infty = max(|x|,|y|,|z|)</math></div>. S(0,1) es un cubo. | ||
{{Geometría}}{{EL}} | {{Geometría}}{{EL}} | ||
