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Diferencia entre revisiones de «Esfera»
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(→Esferas en dimensiones superiores: clean up, replaced: función gamma → Función gamma) |
(clean up, replaced: primitiva → primitiva, derivada → derivada, factorial → Factorial, espacio métrico → Espacio métrico) |
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El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | El [[volumen]] de una esfera de radio, ''r'', es <font size=+2>'''V = 4·π·r<sup>3</sup>/3'''</font> | ||
Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la | Si se consideran la superficie y el volumen como funciones S(r) y V(r) del radio, entonces se nota que la superficie es la derivada del volumen, y éste es una primitiva (la que verifica V(0) = 0) de la superficie. Este hecho no es casualidad, pues se puede descomponer el volumen en capas de espesor arbitrariamente pequeño '''dr''', y los volúmenes de estas capas se aproximan a '''S(r)·dr''' cuando '''dr''' tiende hacia cero.<br/> | ||
Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio ''r'' varía de cero a ''R'' da por definición la [[integral (matemáticas)|integral]] siguiente: | Sumando los volúmenes (infinitesimales) de todas estas capas (en cantidad infinita) cuando el radio ''r'' varía de cero a ''R'' da por definición la [[integral (matemáticas)|integral]] siguiente: | ||
<center><math>V(R) = \int_0^R S(r)dr</math></center> | <center><math>V(R) = \int_0^R S(r)dr</math></center> | ||
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Entonces <font style="vertical-align:+25%;"><math>V_{n+1} = I_{n+1} V_{n} \ \mbox{ con } \ I_n = 2\int_0^{\frac {\Pi} 2} \mbox{sen}^n \ t \ dt </math></font> la integral de Wallis. Por una integración por partes, se obtiene la relación : <font style="vertical-align:+15%;"><math>I_n = \frac {n-1} n I_{n-2}</math></font> lo que permite calcular los I<sub>n</sub> también por inducción, conociendo I<sub>0</sub> e I<sub>1</sub>.<br/> | Entonces <font style="vertical-align:+25%;"><math>V_{n+1} = I_{n+1} V_{n} \ \mbox{ con } \ I_n = 2\int_0^{\frac {\Pi} 2} \mbox{sen}^n \ t \ dt </math></font> la integral de Wallis. Por una integración por partes, se obtiene la relación : <font style="vertical-align:+15%;"><math>I_n = \frac {n-1} n I_{n-2}</math></font> lo que permite calcular los I<sub>n</sub> también por inducción, conociendo I<sub>0</sub> e I<sub>1</sub>.<br/> | ||
La Función gamma Γ intimamente relacionada con los | La Función gamma Γ intimamente relacionada con los Factoriales permite expresar sin inducción el volumen de una esfera de radio ''r'' en dimensión ''n'': <font style="vertical-align:+15%;"><math>V_n(r) = \frac {\pi^{\frac n 2} r^n} {\Gamma (\frac n 2 +1)}</math></font> | ||
Aquí están los diez primeros valores de V<sub>n</sub>(r) y las superficies correspondientes: | Aquí están los diez primeros valores de V<sub>n</sub>(r) y las superficies correspondientes: | ||
| Línea 105: | Línea 105: | ||
== Esferas en otras métricas == | == Esferas en otras métricas == | ||
La noción de esfera se generaliza a cualquier | La noción de esfera se generaliza a cualquier Espacio métrico (E,d) así: la esfera de centro ''a'' y de radio ''r'' es el conjunto <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>S(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) = r \} </math></div>, y la bola correspondiente es <div style="vertical-align:+10%;display:inline;"><math>B(a,r) = \{ x \in E, d(a,x) \le r \} </math></div>. | ||
Para no ser demasiado general, nos restringimos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias. | Para no ser demasiado general, nos restringimos al espacio real tridimensional, con distancias provenientes de distintas normas, y consideramos las esferas unitarias. | ||
