Inscríbete y crea tu propia colección de obras y artículos
Diferencia entre revisiones de «Resistencia de materiales»
Ir a la navegaciónIr a la búsqueda
m (Texto reemplaza - 'fuerza' a 'fuerza') |
(clean up, replaced: direcciones principales de inercia → direcciones principales de inercia, ecuaciones de Lamé-Hooke → ecuaciones de Lamé-Hooke, sólidos deformables...) |
||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
La '''resistencia de materiales''' clásica es una disciplina de la [[ingeniería mecánica]] y la [[ingeniería estructural]] que estudia los | La '''resistencia de materiales''' clásica es una disciplina de la [[ingeniería mecánica]] y la [[ingeniería estructural]] que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La '''resistencia''' de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. | ||
Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerza aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los [[esfuerzo]]s y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. | Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerza aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los [[esfuerzo]]s y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. | ||
| Línea 41: | Línea 41: | ||
==Ecuación constitutiva== | ==Ecuación constitutiva== | ||
Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las | Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lamé-Hooke de la elasticidad lineal. Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales. Para elementos lineales en el cálculo de las secciones, las tensiones sobre cualquier punto (y,z) de la sección puedan escribirse en función de las deformaciones como:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math>\sigma(y,z) = E \ \varepsilon(y,z)</math> | :<math>\sigma(y,z) = E \ \varepsilon(y,z)</math> | ||
| Línea 50: | Línea 50: | ||
\sigma_{zz} = 0 & \varepsilon_{zz}= -\nu \varepsilon | \sigma_{zz} = 0 & \varepsilon_{zz}= -\nu \varepsilon | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
</ | <br /> | ||
En cambio para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexión como las placas la especialización de las ecuaciones de Hooke es:</ | En cambio para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexión como las placas la especialización de las ecuaciones de Hooke es:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math>\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \frac{E}{1-\nu^2} | :<math>\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \frac{E}{1-\nu^2} | ||
\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} | \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} | ||
\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{zz} \end{bmatrix} | \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \varepsilon_{zz} \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> | ||
</ | <br /> | ||
==Ecuaciones de equivalencia== | ==Ecuaciones de equivalencia== | ||
Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos. | Las ecuaciones de equivalencia expresan los esfuerzos resultantes a partir de la distribución de tensiones. Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos. | ||
En '''elementos lineales''' rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al [[prisma mecánico|eje baricéntrico]] de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las | En '''elementos lineales''' rectos las coordenadas cartesianas para representar la geometría y expresar tensiones y esfuerzos, se escogen normalmente con el eje X paralelo al [[prisma mecánico|eje baricéntrico]] de la pieza, y los ejes Y y Z coincidiendo con las direcciones principales de inercia. En ese sistema de coordenadas la relación entre [[esfuerzo normal]] (''N<sub>x</sub>''), [[esfuerzo cortante|esfuerzos cortantes]] (''V<sub>y</sub>'', ''V<sub>z</sub>''), el [[momento torsor]] (''M<sub>x</sub>'') y los [[momento flector|momentos flectores]] (''M<sub>y</sub>'', ''M<sub>z</sub>'') es:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math> \begin{matrix} | :<math> \begin{matrix} | ||
N_x = \int_\Sigma \sigma_{x} dydz & V_y = \int_\Sigma \tau_{xy} dydz & V_z = \int_\Sigma \tau_{xz} dydz \\ | N_x = \int_\Sigma \sigma_{x} dydz & V_y = \int_\Sigma \tau_{xy} dydz & V_z = \int_\Sigma \tau_{xz} dydz \\ | ||
M_x = \int_\Sigma (-\tau_{xy}z +\tau_{xz}y) dydz & M_y = \int_\Sigma z\sigma_{xx} dydz & M_z = \int_\Sigma -y\sigma_{xx} dydz | M_x = \int_\Sigma (-\tau_{xy}z +\tau_{xz}y) dydz & M_y = \int_\Sigma z\sigma_{xx} dydz & M_z = \int_\Sigma -y\sigma_{xx} dydz | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
</ | <br /> | ||
Donde las tensiones que aparecen son las componentes del [[tensor tensión]] para una pieza prismática:</ | Donde las tensiones que aparecen son las componentes del [[tensor tensión]] para una pieza prismática:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix} | :<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix} | ||
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ | \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ | ||
| Línea 76: | Línea 76: | ||
\tau_{xz} & 0 & 0 | \tau_{xz} & 0 & 0 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
</ | <br /> | ||
Para '''elementos bidimensionales''' es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2''t'' y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los momentos flectores y momento torsor por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:</ | Para '''elementos bidimensionales''' es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2''t'' y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los momentos flectores y momento torsor por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math> \begin{matrix} | :<math> \begin{matrix} | ||
m_x = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xx} dz & m_y = \int_{-t}^{t} z\sigma_{yy} dz & m_{xy} = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xy} dz | m_x = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xx} dz & m_y = \int_{-t}^{t} z\sigma_{yy} dz & m_{xy} = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xy} dz | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
</ | <br /> | ||
Donde las tensiones que aparecen son las componentes del [[tensor tensión]] para una pieza prismática:</ | Donde las tensiones que aparecen son las componentes del [[tensor tensión]] para una pieza prismática:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix} | :<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix} | ||
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ | \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\ | ||
| Línea 92: | Línea 92: | ||
==Ecuaciones de equilibrio== | ==Ecuaciones de equilibrio== | ||
Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para [[prisma mecánico|elementos lineales]] y | Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para [[prisma mecánico|elementos lineales]] y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones. | ||
Las [[Elasticidad (mecánica de sólidos)#Teoría de la Elasticidad Lineal#Ecuaciones de equilibrio|ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones]] generales de la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|teoría de la elasticidad lineal]]:</ | Las [[Elasticidad (mecánica de sólidos)#Teoría de la Elasticidad Lineal#Ecuaciones de equilibrio|ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones]] generales de la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|teoría de la elasticidad lineal]]:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math> | :<math> | ||
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z}= b_x | \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z}= b_x | ||
| Línea 106: | Línea 106: | ||
\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = b_z | \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = b_z | ||
</math> | </math> | ||
</ | <br /> | ||
Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales. | Si en ellas tratamos de substituir las tensiones por los esfuerzos internos llegamos a las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales. El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales. | ||
===Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales=== | ===Ecuaciones de equilibrio en elementos lineales=== | ||
En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (''M<sub>z</sub>''), el esfuerzo cortante (''V<sub>y</sub>'') con la carga vertical (''q<sub>y</sub>'') y tienen la forma:</ | En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (''M<sub>z</sub>''), el esfuerzo cortante (''V<sub>y</sub>'') con la carga vertical (''q<sub>y</sub>'') y tienen la forma:<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math>\frac{dM_z}{dx}=V_y \qquad \land \qquad \frac{dV_y}{dx} = -q_y \qquad \Rightarrow \qquad \frac{d^2M_z}{dx^2}= - q_y</math> | :<math>\frac{dM_z}{dx}=V_y \qquad \land \qquad \frac{dV_y}{dx} = -q_y \qquad \Rightarrow \qquad \frac{d^2M_z}{dx^2}= - q_y</math> | ||
</ | <br /> | ||
===Ecuaciones de equilibrio en elementos bidimensionales=== | ===Ecuaciones de equilibrio en elementos bidimensionales=== | ||
Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (''m<sub>x</sub>'', ''m<sub>y</sub>'', ''m<sub>xy</sub>''), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (''v<sub>x</sub>'', ''m<sub>y</sub>'') y la carga superficial vertical (''q<sub>s</sub>''):</ | Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (''m<sub>x</sub>'', ''m<sub>y</sub>'', ''m<sub>xy</sub>''), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (''v<sub>x</sub>'', ''m<sub>y</sub>'') y la carga superficial vertical (''q<sub>s</sub>''):<br /> | ||
</ | <br /> | ||
:<math>\begin{matrix} \cfrac{\partial m_{x}}{\partial x}+ \cfrac{\partial m_{xy}}{\partial y}=v_x \\ \cfrac{\partial m_{xy}}{\partial x}+ \cfrac{\partial m_{y}}{\partial y}=v_y \end{matrix} | :<math>\begin{matrix} \cfrac{\partial m_{x}}{\partial x}+ \cfrac{\partial m_{xy}}{\partial y}=v_x \\ \cfrac{\partial m_{xy}}{\partial x}+ \cfrac{\partial m_{y}}{\partial y}=v_y \end{matrix} | ||
\quad \land \quad \frac{\partial v_x}{\partial x}+ \frac{\partial v_y}{\partial y}= -q_s \qquad | \quad \land \quad \frac{\partial v_x}{\partial x}+ \frac{\partial v_y}{\partial y}= -q_s \qquad | ||
\Rightarrow \qquad \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2}+ 2\frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2 m_y}{\partial y^2}= -q_s </math> | \Rightarrow \qquad \frac{\partial^2 m_x}{\partial x^2}+ 2\frac{\partial^2 m_{xy}}{\partial y\partial x} + \frac{\partial^2 m_y}{\partial y^2}= -q_s </math> | ||
</ | <br /> | ||
==Bibliografía== | ==Bibliografía== | ||
* | * Timoshenko S., ''Strength of Materials'', 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976, ISBN 0-88275-420-3 | ||
* Den Hartog, Jacob P., ''Strength of Materials'', Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0 | * Den Hartog, Jacob P., ''Strength of Materials'', Dover Publications, Inc., 1961, ISBN 0-486-60755-0 | ||
* Popov, Egor P., ''Engineering Mechanics of Solids'', Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3 | * Popov, Egor P., ''Engineering Mechanics of Solids'', Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1990, ISBN 0-13-279258-3 | ||
