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La '''resistencia de materiales''' clásica es una disciplina de la [[ingeniería mecánica]] y la [[ingeniería estructural]] que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La '''resistencia''' de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.
La '''resistencia de materiales''' clásica es una disciplina de la Ingeniería mecánica y la Ingeniería estructural que estudia los sólidos deformables mediante modelos simplificados. La '''resistencia''' de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.


Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerza aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los [[esfuerzo]]s y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.
Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerza aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los [[esfuerzo]]s y desplazamientos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.


Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por [[elementos finitos]].
Para el diseño mecánico de elementos con geometrías complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar técnicas basadas en la teoría de la elasticidad o la mecánica de sólidos deformables más generales. Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por Elementos finitos.


==Enfoque de la resistencia de materiales==
==Enfoque de la resistencia de materiales==
La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por [[campo tensorial|campos tensoriales]] definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales.
La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales.
Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales ([[viga]]s, [[pilar]]es, [[celosía (estructura)|celosías]], arcos, etc.) o bidimensionales ([[placas y láminas]], [[membrana (estructura)|membrana]]s, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones.
Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales ([[viga]]s, [[pilar]]es, [[celosía (estructura)|celosías]], arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, [[membrana (estructura)|membrana]]s, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones.
El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende:
El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende:


* '''Hipótesis cinemática''' establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para [[prisma mecánico|piezas prismáticas]] las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la [[flexión (ingeniería)|flexión]] y la hipótesis de Saint-Venant para la [[torsión mecánica|torsión]].
* '''Hipótesis cinemática''' establece como serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Para [[prisma mecánico|piezas prismáticas]] las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la [[flexión (ingeniería)|flexión]] y la hipótesis de Saint-Venant para la [[torsión mecánica|torsión]].
* '''Ecuación constitutiva''' que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos siempre casos particulares de las [[Ley de elasticidad de Hooke|ecuaciones de Lamé-Hooke]].
* '''Ecuación constitutiva''' que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estas ecuaciones son casos siempre casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke.
* '''Ecuaciones de equivalencia''', son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]].
* '''Ecuaciones de equivalencia''', son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]].
* '''Ecuaciones de equilibrio''' que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.
* '''Ecuaciones de equilibrio''' que relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores.
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# '''Cálculo de esfuerzos''', se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.
# '''Cálculo de esfuerzos''', se plantean las ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibilidad que sean necesarias para encontrar los esfuerzos internos en función de las fuerzas aplicadas.
# '''Análisis resistente''', se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: [[flexión (ingeniería)|flexión de Bernouilli]], [[flexión (ingeniería)|flexión de Timoshenko]], [[tracción]], [[pandeo]], [[torsión (ingeniería)|torsión de Coulomb]], [[tensión cortante|teoría de Collignon para tensiones cortantes]], etc.
# '''Análisis resistente''', se calculan las tensiones a partir de los esfuerzos internos. La relación entre tensiones y deformaciones depende del tipo de solicitación y de la hipótesis cinemática asociada: [[flexión (ingeniería)|flexión de Bernouilli]], [[flexión (ingeniería)|flexión de Timoshenko]], [[tracción]], [[pandeo]], [[torsión (ingeniería)|torsión de Coulomb]], [[tensión cortante|teoría de Collignon para tensiones cortantes]], etc.
# '''Análisis de rigidez''', se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la [[curva elástica]], las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los [[teoremas de Castigliano]].
# '''Análisis de rigidez''', se calculan los desplazamientos máximos a partir de las fuerzas aplicadas o los esfuerzos internos. Para ello puede recurrirse directamente a la forma de la hipótesis cinemática o bien a la ecuación de la [[curva elástica]], las fórmulas vectoriales de Navier-Bresse o los Teoremas de Castigliano.


==Hipótesis cinemática==
==Hipótesis cinemática==
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===Hipótesis cinemática en elementos superficiales===
===Hipótesis cinemática en elementos superficiales===
Para [[placas y láminas]] sometidas a [[flexión (ingeniería)|flexión]] se usan dos hipótesis, que se pueden poner en correspondencia con las hipótesis de vigas
Para placas y láminas sometidas a [[flexión (ingeniería)|flexión]] se usan dos hipótesis, que se pueden poner en correspondencia con las hipótesis de vigas


* '''Hipótesis de Love-Kirchhoff'''
* '''Hipótesis de Love-Kirchhoff'''
Línea 46: Línea 46:


:<math>\begin{cases}
:<math>\begin{cases}
\sigma_{xx} = \sigma & \varepsilon_{xx}=     \varepsilon\\
\sigma_{xx} = \sigma & \varepsilon_{xx}=   \varepsilon\\
\sigma_{yy} = 0     & \varepsilon_{yy}= -\nu \varepsilon\\
\sigma_{yy} = 0   & \varepsilon_{yy}= -\nu \varepsilon\\
\sigma_{zz} = 0     & \varepsilon_{zz}= -\nu \varepsilon
\sigma_{zz} = 0   & \varepsilon_{zz}= -\nu \varepsilon
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
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Línea 65: Línea 65:
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:<math> \begin{matrix}
:<math> \begin{matrix}
  N_x = \int_\Sigma \sigma_{x} dydz & V_y = \int_\Sigma \tau_{xy} dydz & V_z = \int_\Sigma \tau_{xz} dydz \\
N_x = \int_\Sigma \sigma_{x} dydz & V_y = \int_\Sigma \tau_{xy} dydz & V_z = \int_\Sigma \tau_{xz} dydz \\
  M_x = \int_\Sigma (-\tau_{xy}z +\tau_{xz}y) dydz & M_y = \int_\Sigma z\sigma_{xx} dydz & M_z = \int_\Sigma -y\sigma_{xx} dydz
M_x = \int_\Sigma (-\tau_{xy}z +\tau_{xz}y) dydz & M_y = \int_\Sigma z\sigma_{xx} dydz & M_z = \int_\Sigma -y\sigma_{xx} dydz
\end{matrix}</math>
\end{matrix}</math>
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Línea 72: Línea 72:
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:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix}
:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix}
  \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
  \tau_{xy} & 0 & 0 \\
\tau_{xy} & 0 & 0 \\
  \tau_{xz} & 0 & 0
\tau_{xz} & 0 & 0
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
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Para '''elementos bidimensionales''' es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2''t'' y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los momentos flectores y momento torsor por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:<br />
Para '''elementos bidimensionales''' es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor. Para una placa plana de espesor 2''t'' y con un sistema de coordenadas en el que el plano XY coincide con su plano medio. Los momentos flectores y momento torsor por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:<br />
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:<math> \begin{matrix}
:<math> \begin{matrix}
  m_x = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xx} dz & m_y = \int_{-t}^{t} z\sigma_{yy} dz & m_{xy} = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xy} dz
m_x = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xx} dz & m_y = \int_{-t}^{t} z\sigma_{yy} dz & m_{xy} = \int_{-t}^{t} z\sigma_{xy} dz
\end{matrix}</math>
\end{matrix}</math>
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Línea 86: Línea 86:
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:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix}
:<math> [T]_{xyz} = \begin{bmatrix}
  \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\
\sigma_{xx} & \sigma_{xy} & 0 \\
  \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & 0 \\
\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & 0 \\
  0 & 0 & 0
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>


==Ecuaciones de equilibrio==
==Ecuaciones de equilibrio==
Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para [[prisma mecánico|elementos lineales]] y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones.
Las ecuaciones de equilibrio de la resistencia de materiales relacionan los [[esfuerzo interno|esfuerzos internos]] con las fuerzas exteriores aplicadas. Las ecuaciones de equilibrio para [[prisma mecánico|elementos lineales]] y elementos bidimensionales son el resultado de escribir las ecuaciones de equilibrio elástico en términos de los esfuerzos en lugar de las tensiones.
Las [[Elasticidad (mecánica de sólidos)#Teoría de la Elasticidad Lineal#Ecuaciones de equilibrio|ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones]] generales de la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|teoría de la elasticidad lineal]]:<br />
Las [[Elasticidad (mecánica de sólidos)#Teoría de la Elasticidad Lineal#Ecuaciones de equilibrio|ecuaciones de equilibrio para el campo de tensiones]] generales de la [[Elasticidad (mecánica de sólidos)|teoría de la elasticidad lineal]]:<br />
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:<math>
:<math>
  \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z}= b_x
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z}= b_x
</math>
</math>


:<math>
:<math>
  \frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} = b_y
\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} = b_y
</math>
</math>


:<math>
:<math>
  \frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = b_z
\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x}+ \frac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y}+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = b_z
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