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{{+}}El '''alabeo unitario''' o '''alabeo seccional''' es una función ω(''y,z'') que predice la forma deformada de la sección transversal de un [[prisma mecánico]] y que define varias características geométricas importantes relacionadas con el cálculo de tensiones en caso de flexión, torsión y cortante combinados. [Este alabeo unitario tiene dimensiones de longitud al cuadrado (L<sup>2</sup>)].

== Ecuación de alabeo unitario ==
Para un prisma mecánico de sección constante ''A'', el alabeo unitario es una función <math>\omega(y,z)\;</math> definida sobre dicha sección transversal, que es solución del siguiente Problema de Von Neumann:
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ 
\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left[(y-y_C)^2+(z-z_C)^2 \right] & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>|1|left}}
Donde:
:<math>\bar{s}</math> es la longitud a lo largo del contorno de la pieza y <math>\mathbf{n}</math> la normal exterior al mismo.
:<math>(y_C, z_C)\;</math> son las coordenadas del [[centro de cortante]].

=== Deducción de la ecuación de alabeo ===
En el problema de torsión pura de Saint-Venant para una Pieza prismática la [[hipótesis cinemática]] lleva a que los desplzamientos están relacionados con los giros del eje baricéntrico alrededor de sí mismo por la siguiente condición:
{{Ecuación|<math>
\begin{Bmatrix} u_x(x,y,z) \\ u_y(x,y,z) \\ u_z(x,y,z) \end{Bmatrix} =
\begin{bmatrix} \omega(y,z) & 0 \\ 0 & -z+z_C \\ 0 & y-y_C \end{bmatrix}
\begin{Bmatrix} \cfrac{d\theta_x}{ds}\\ \theta_x \end{Bmatrix}
</math>|2|left}}
Calculando a partir de ellos las deformaciones y aplicando después las ecuaciones de Lamé-Hooke se llega a que la relación entre tensiones y giros sobre el eje son:
{{Ecuación|<math>\begin{cases}
\sigma_{xx} = \frac{2G}{(1-2\nu)} \left[(1-\nu)\varepsilon_{xx}+\nu (\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}) \right] = 0\\
\sigma_{xy} = G\left[{\part u_x \over \part y} + {\part u_y \over \part x}\right] = G\left[\frac{\part\omega}{\part y} -\left(z-z_C\right) \right]\frac{d\theta_x}{ds}\\
\sigma_{xz} = G\left[{\part u_x \over \part z} + {\part u_z \over \part x}\right] = 
G\left[\frac{\part\omega}{\part z} +\left(y-y_C\right) \right]\frac{d\theta_x}{ds} \end{cases} </math>|3|left}}
El equilibrio de fuerzas sobre el eje longitudinal de la pieza prismática o [[viga]] requiere que:
{{Ecuación|<math>
\frac{\part \sigma_{xx}}{\part x}+ \frac{\part \sigma_{xy}}{\part y}+ \frac{\part \sigma_{xz}}{\part z}= 0</math>|4|left}}
Donde se han substiuyendo las ecuaciones {{Eqnref|3}} en {{Eqnref|4}} se llega precisamente a la ecuación del alabeo unitario {{Eqnref|1}}.

== Solución para la ecuación de alabeo unitario ==
Puede demostrarse que la solución de la anterior ecuación puede encontrarse fácilmente introduciendo una función de alabeo auxiliar relacionada con la anterior y con las coordenadas (''y<sub>C</sub>, z<sub>C</sub>'') del centro de cortante. La función auxiliar <math>\omega_0(x,y)\;</math> satisface la ecuación:<ref name="Monleón Cremades 1999">Monleón Cremades, 1999, apéndice B, p.</ref>
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial y^2}+ \cfrac{\partial^2\omega_0}{\partial z^2} = 0 & \forall(y,z)\in A \\ 
\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\nabla}\omega_0 = \cfrac{1}{2}\cfrac{d}{d\bar{s}} \left(y^2+z^2 \right) & \forall(y,z)\in \partial A \end{cases}</math>||left}}
En términos de esta función auxiliar se pueden encontrar tanto la función de alabeo como las coordenadas del centro de cortante:<ref name="Monleón Cremades 1999"/>
{{Ecuación|<math>\omega(y,z) = \omega_0(y,z) - z_Cy + y_Cz \qquad y_C = \frac{I_zI_{y\bar\omega}-I_{yz} I_{z\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} \qquad z_C = \frac{I_yI_{z\bar\omega}-I_{yz}I_{y\bar\omega}}{I_zI_y-I_{yz}^2} </math>||left}}
Donde <math>I_y, I_z, I_{yz} \,</math> son los [[Segundo momento de área#Momentos de inercia principales|momentos de área y el producto de inercia]]. Y donde <math>I_{y\bar\omega}, I_{z\bar\omega} \,</math> son los '''productos de inercia sectoriales''' definidos como:{{Ecuación|<math>I_{y\bar\omega} = \int_A z\omega_0(y,z)\ dydz \qquad I_{z\bar\omega}=\int_A y\omega_0(y,z)\ dydz</math>||left}}
== Ejemplos de alabeos seccionales ==
En general si una sección no es circular o circular hueca presentará alabeo seccional diferente de cero. Esto puede probarse rigurosamente calculando el alabeo seccional de una sección elíptica, que depende de la diferencia de cuadrados de las longitudes de los semiejes, si estos son iguales como sucede en en un círculo la función de alabeo se anula.

En el caso general la sección de alabeo es complicada y requiere resolver un Problema de Von Neumann. Para algunos casos sencillos cuando la sección es maciza y el contorno viene expresado por una función de tipo ''f''(''y, z'') = 0 siendo el lapalaciano de ''f'' constante el problema de buscar la función de alabeo puede simplificarse notablemente mediante la función de Prandtl, ya que esta función basta encontrar una función de Prandtl que se anule sobre el contorno. Esto es precisamenet lo que sucede con la secciones elíptica y triangular, sin embargo con secciones más complicadas como una sección rectangular el cálculo es más complicado.

=== Alabeo unitario de una sección triangular ===
En una sección triangular equilátera cualquiera de las tres alturas del triángulo constituye un eje de simetría, por lo que para una sección triangular equilátera el centro de cortante coincide con el centro geométrico o Baricentro del triángulo. La función de alabeo considerando coordenadas (''y, z'') con el origen de coordenadas sobre el centro geométrico viene dada por:<ref>Ortiz Berrocal, 1988, p. 296.</ref>
{{Ecuación|<math>\omega(y,z) = -\frac{3z^2y-y^3}{2h}</math>||left}}
Donde hemos considerado que uno de los lados es paralelo al eje Y, y ''h'' es la altura del triángulo.

=== Alabeo unitario de una sección elíptica ===
En una [[elipse|sección elíptica]] existen dos ejes de simetría, el semieje mayor y el semieje menor, lo cual implia que el [[centro de cortante]] coincida con el centro geomérico de la sección. Tomando coordenadas de la sección (''y, z'') con origen en el centro geométrico de la sección la función de alabeo unitario la función de alabeo unitario viene dad por:<ref>Ortiz Berrocal, 1998, p. 292.</ref>
{{Ecuación|<math>\omega(y,z) = -\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}yz</math>||left}}
Donde ''a'' y ''b'' son, respectivamente, las longitudes del semieje mayor y el semieje menor de la elipse. Puede verse que en el caso particular de un círculo de radio ''r'' (donde ''a'' = ''b'' = ''r'') el alabeo seccional unitario es nulo, en consonancia con la teoría de la [[torsión mecánica|torsión]] de Saint-Venant para secciones circulares.

=== Alabeo unitario de una sección rectangular ===
En una sección rectangular, donde el centro de cortante coincide con centro geométrico, la función de alabeo puede calcularse en términos de la función de Prandtl<ref>Ortiz Berrocal, 1998, p. 296-300.</ref> que a su vez puede obtenerse por integración de Laplace mediante Separación de variables:
{{Ecuación|<math>\begin{cases}
 \cfrac{\part \omega}{\part y} = z+\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part z} = z +
 \cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k+1}}{(2k+1)^2} \left( \cfrac{\sinh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}} \right) \cos \frac{(2k+1)\pi y}{b} \right] \\ 
 \cfrac{\part \omega}{\part z} = -y-\cfrac{1}{G\theta}\cfrac{\part \Phi}{\part y} = -y +
 \cfrac{8b}{\pi^2} \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \cfrac{(-1)^{k}}{(2k+1)^2} \left(1-\cfrac{\cosh \frac{(2k+1)\pi z}{b}}{\cosh \frac{(2k+1)\pi a}{b}}\right)\sin \frac{(2k+1)\pi y}{b}\right] \end{cases}</math>||left}}
== Momento de alabeo ==
El momento de alabeo es la magnitud definida por la siguiente integral:<ref>Monleón, 1999, p.</ref>
{{Ecuación|<math>I_\omega = \int_A \omega^2(y,z)\ dydz</math>||left}}
Para una sección I o H el módulo de alabeo viene dado por:<ref>[http://www.creativepultrusions.com/LitLibrary/DM%20CD-ROM/metchp4.pdf Load Tables for Flexural Members and Connections]</ref>
{{Ecuación|<math>I_\omega = \frac{h^2I_{min}}{4}</math>||left}}
Donde ''h'' denota la altura total del perfil e ''I<sub>min</sub>'' el momento de inercia mínimo.
{{Referencias}}
{{Ref| Ortiz Berrocal, L., ''Elasticidad'', McGraw-Hill, 1998, ISBN 84-481-2046-9.}}
{{Ref| Monleón Cremades, S., ''Análisis de vigas, arcos, placas y láminas'', Ed. UPV, 1999, ISBN 84-7721-769-6.}}
[[Carpeta:Resistencia de materiales|Alabeo seccional]]